День: 1 сентября 2020

Рубрика: Նախագծեր

Սեպտեմբերի 2-12 նախագծեր

Опубликовано автором Թաթուլ

Սեպտեմբերի 2-12 առաջարկում եմ կենտրենանալ հետևյալ նախագծերի վրա: Հուսով եմ ամառվա ընդմիջման ժամանակ կկարողանամ հետաքրքրություն արդնացնել սովորողների մեջ դեպի մաթեմատիկա և արդյունավետ և արգասաբեր ուսունական տարի կունենանք:

Առաջադրանքները կատարեք, տեղադրեք ձեր բլոգներում:Հարցեր ունենալու դեպքում գրեք իմ հասցեին: T.shahnazaryan@mskh.am

Պարզ թիվ

Մաթեմատիկայում պարզ թվերը բնական թվեր են, որոնք ունեն միայն երկու բաժանարար, այսինքն բաժանվում են միայն մեկի, իրենց վրա:

Պարզ թվերի բազմությունը նշանակում են:
{\mathbb {P}} = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ..}

Մնացած բնական թվերը բացի մեկից անվանում են բաղադրյալ թվեր։ Այսպիսով՝ բոլոր բնական թվերի բազմությունը (բացի 1-ից) բաժանվում է երկու մասի՝ պարզ և բաղադրյալ թվեր։

Պարզ թվերն անվերջ են։ Վերջինիս ճշմարտացիության առաջին ապացույցին հանդիպում ենք Էվկլիդեսի մոտ։ Նրա ապացույցը կարճ կարելի է ձևակերպել այսպես

՛՛Պատկերացնենք, որ պարզ թվերի քանակությունը վերջավոր է։ Բոլոր պարզ թվերը բազմապատկենք իրարով ու ստացվածին գումարենք մեկ։ Ստացված թիվը չի բաժանվում մեր ունեցած և ոչ մի պարզ թվի վրա, որովհետև բաժանումից ստացված մնացորդը միշտ մեկ է լինում։ Ստացվում է, որ այդ թիվը պետք է բաժանվի մի պարզ թվի վրա, որը մենք չենք ընդգրկել մեր պարզ թվերի բազմության մեջ։ Ստացանք հակասություն։

Պարզ թվերը ստանալու ամենակարճ եղանակը

Ցանկացած թվի պարզությունը որոշելու համար բավական է, որ այդ թիվը բաժանենք՝ 2-ից մինչև իր քառակուսի արմատի վրա (քառակուսի արմատը կլորացրած)։

Խնդիր։ Տրված է N բնական թիվը, որոշել արդյո՞ք այն պարզ է, թե՝ ոչ։

Լուծում։ Նախ որոշում ենք տրված թվի արմատը՝ {\displaystyle \surd (N)}, այնուհետև կլորացնում ենք այն և հետո N թիվը բաժանում ենք 2֊ի և ստացված թվի արանքում ընկած բոլոր պարզ թվերի վրա ու եթե այն բաժանվում է գոնե մեկի վրա, ապա տրված N թիվը բաղադրյալ թիվ է, եթե՝ ոչ, ապա այլևս ոչ մի թվի վրա չի բաժանվի։

Հավելում․

Տրված N թիվը պարզ է եթե այն չի բաժանվում ցանկացած X պարզ թվերի վրա, որտեղ X֊ը հավասար է [2;{\displaystyle \surd (N)}] միջակայքում եղած բոլոր պարզ թվերին։

Առաջին 500 պարզ թվերի աղյուսակ

235711131719232931374143475359616771
7379838997101103107109113127131137139149151157163167173
179181191193197199211223227229233239241251257263269271277281
283293307311313317331337347349353359367373379383389397401409
419421431433439443449457461463467479487491499503509521523541
547557563569571577587593599601607613617619631641643647653659
661673677683691701709719727733739743751757761769773787797809
811821823827829839853857859863877881883887907911919929937941
947953967971977983991997100910131019102110311033103910491051106110631069
10871091109310971103110911171123112911511153116311711181118711931201121312171223
12291231123712491259127712791283128912911297130113031307131913211327136113671373
13811399140914231427142914331439144714511453145914711481148314871489149314991511
15231531154315491553155915671571157915831597160116071609161316191621162716371657
16631667166916931697169917091721172317331741174717531759177717831787178918011811
18231831184718611867187118731877187918891901190719131931193319491951197319791987
19931997199920032011201720272029203920532063206920812083208720892099211121132129
21312137214121432153216121792203220722132221223722392243225122672269227322812287
22932297230923112333233923412347235123572371237723812383238923932399241124172423
24372441244724592467247324772503252125312539254325492551255725792591259326092617
26212633264726572659266326712677268326872689269326992707271127132719272927312741
27492753276727772789279127972801280328192833283728432851285728612879288728972903
29092917292729392953295729632969297129993001301130193023303730413049306130673079
30833089310931193121313731633167316931813187319132033209321732213229325132533257
32593271329933013307331333193323332933313343334733593361337133733389339134073413
34333449345734613463346734693491349935113517352735293533353935413547355735593571

Գիլբերտի խնդրի ուսումնասիրման ստուգման ծրագիրը հայտնում է, որ հաշվարկվել են մինչև {\displaystyle 10^{18}}բոլոր պարզ թվերը։ Դա կազմում է 24 739 954 287 740 860 պարզ թիվ, բայց դրանք չեն պահպանվել։ Գոյություն ունեն բանաձևեր, որոնք հնարավորություն են տալիս հաշվել պարզ թվերի քանակը (մինչև տրված արժեքը) ավելի արագ, քան պարզ թվերի հաշվարկը։ Այդ մեթոդը օգտագործվել է մինչև {\displaystyle 10^{23}}թիվը պարզ թվերի քանակըհաշվելու համար։ Դրանց թիվը 1 925 320 391 606 803 968 923 է։

Բելի պարզ թվեր

Պարզ թվեր են, որոնք հանդիսանում են n թվով շարքի բաշխման թիվը։

2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837. Հաջորդ թիվը 6539 նիշ ունի:

Քառակուսային պարզ թվեր

{\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+1}  տեսքի թվերրը կոչվում են քառակուսյինհ պարզ։

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227, 27361, 33391, 35317

{\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+2}  նույնպես քառակուսային պարզ են։

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313, 73009, 76801, 84673, 106033, 108301, 112909, 115249

Գերպարզ թվեր

Պարզ թվեր, որոնք պարզ թվերի շարքում գրավում են պարզ թվերով կարգերում, այսինքն, երկրորդը, երրորդը, հինգերորդը և այլն։

Գերպարզ թվերի շարքի առաջին անդամներն են․ 3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, 157, …  թվային շարք

Մեկերից կազմված պարզ թվեր

2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 թվով մեկերից կազմված պարզ թվերի շարք

Մեկերից և զրոներից կազմված պարզ թվեր

Բացի միայն մեկերից կազմված պարզ թվերից բացի կարելի է նշել նաև մեկերից և զրոներից կազմված պարզ թվերը։ Առաջին տաս միլիոնի սահմաններում այդպիսին են 11, 101, 10111, 101111, 1011001, 1100101 և այլն։

Պարզ պալինդրոմներ (դյուրադարձուկներ)

Պոլինդրոմներ են կոչվում այն թվերը, որոնք թե՛ աջից ձախ, թե՛ ձախից աջ կարդացվում են նույն ձևով, օրինակ՝30103։Դրանց թվում կան պարզ թվեր։ Պարզ է, որ յուրաքանչյուր պարզ պոլինդրոմ կազմված է կենտ թվով նիշերից ,բացառությամբ 11-ը։ Առաջին պոլինդրոմներն են ՝Я

2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, …

Վիլսոնի պարզ թվեր

P Պարզ թվերն են ,որոնց համար {\displaystyle (p-1)!+1} -ը բաժանվում է {\displaystyle p^{2}} առանց մնացորդի։ Վիլսոնի հայտնի պարզ թվերն են 5, 13, 563 այլ Վիլսոնի պարզեր մինջև 2×1013 ,հայտնի չեն։

Քերոլի պարզ թվեր

{\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2} տեսքի պարզ թվեր .

7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087

Կալենի պարզ թվեր

{\displaystyle n2^{n}+1} տեսքի պարզ թվեր։

Բոլոր Կալենի պարզ թվերը համապատասխանում են {\displaystyle n}n-ին, որը հավասար է․1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881

Ենթադրվում է, որ գոյություն ունի անվերջ թվով Կալենի պարզ թվեր։

Մարկովի պարզ թվեր

p պարզ թվերն են, որոնց համար գոյություն ունենամբողջ x և y թվերը այնպիսին , որ {\displaystyle x^{2}+y^{2}+p^{2}=3xyp}.

2, 5, 13, 29, 89, 233, 433, 1597, 2897, 5741, 7561, 28657, 33461, 43261, 96557, 426389, 514229

Մերսենի պարզ թվեր

{\displaystyle 2^{n}-1} տեսքի պարզ թվերն են, առաջին 12-ը հետևյալն են․

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727 

Նյումենի-Շենքսի-Ուլյամսի պարզ թվեր

p պարզ թվերն են, որոնց կարելի ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝{\displaystyle S_{2m+1}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}}{2}}.}

Մի քանի առաջին ՆՇՈՒ պարզ թվերն են 7, 41, 239, 9369319, 63018038201, 489133282872437279, 19175002942688032928599, 123426017006182806728593424683999798008235734137469123231828679

Պրոտի պարզ թվեր

{\displaystyle P=k\cdot 2^{n}+1} տեսքի պարզ թվերն են ,որտեղ k կենտ է և {\displaystyle 2^{n}>k}

Սոֆի-Ժարմենի պարզ թվեր

p պարզ թվերն են, այնպիսիք, որ {\displaystyle 2p+1}  նույնպես լինեն պարզ։

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953

Ֆերմայի պարզ թվեր

{\displaystyle 2^{2^{n}}+1} տեսքի պարզ թվերն են։ Հայտնի են 3, 5, 17, 257, 65537

Ֆիբոնաչիի պարզ թվեր

Ֆիբոնաչիի F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 շարքի պարզ թվերն են․

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917

Չենի պարզ թվեր

p պարզ թվերն են, որոնց {\displaystyle p+2}-ը կամ պարզ է կամ կիսապարզ։

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 191, 197, 199, 211, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 269, 281, 293, 307, 311, 317, 337, 347, 353, 359, 379, 389, 401, 409

{\displaystyle n^{4}+1} տեսքի պարզ թվեր

Այս տեսքի պարզ թվերն են: Հավասարակշռված պարզ թվեր

2, 17, 257, 1297, 65537, 160001, 331777, 614657, 1336337, 4477457, 5308417, 8503057, 9834497, 29986577, 40960001, 45212177, 59969537, 65610001, 126247697, 193877777, 303595777, 384160001, 406586897, 562448657, 655360001

Հավասարակշռված պարզ թվեր

Նախորդ և հաջորդ պարզ թվերի թվաբանական միջինը հանդիսացող պարզ թվերն են․

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, 1753, 1907, 2287, 2417, 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637, 3733, 4013, 4409, 4457, 4597, 4657, 4691, 4993, 5107, 5113, 5303, 5387, 5393

Ունիկալ պարզ թվեր

pպարզ թվերն են, որոնց  {\displaystyle {\frac {1}{p}}} տեսքի կոտորակի պարբերականության շարքը նման չէ որևէ այլ պարզ թվի շարքին։

3, 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, 99990001, 999999000001, 9999999900000001, 909090909090909091, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, 900900900900990990990991

Ֆակտորիալային պարզ թվեր

{\displaystyle n!\pm 1} տեսքի պարզ թվեր, որոնց համար {\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}:

2, 3, 5, 7, 23, 719, 5039, 39916801, 479001599, 87178291199, 10888869450418352160768000001, 265252859812191058636308479999999, 263130836933693530167218012159999999, 8683317618811886495518194401279999999

Կենտրոնացված պարզ թվեր

{\displaystyle n^{2}+(n+1)^{2}} տեսքի պարզ թվերն են․

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, 4513, 5101, 7321, 8581, 9661, 9941, 10513, 12641, 13613, 14281, 14621, 15313, 16381, 19013, 19801, 20201, 21013, 21841, 23981, 24421, 26681

Կենտրոնացված եռանկյուն պարզ թվեր

{\displaystyle (3n^{2}+3n+2)/2} տեսքի պարզ թվերն են․

19, 31, 109, 199, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999, 2341, 2971, 3529, 4621, 4789, 7039, 7669, 8779, 9721, 10459, 10711, 13681, 14851, 16069, 16381, 17659, 20011, 20359, 23251, 25939, 27541, 29191, 29611, 31321, 34429, 36739, 40099, 40591, 42589

Կենտրոնացված յոթանկյուն թվեր

{\displaystyle (7n^{2}-7n+2)/2} տեսքի պարզ թվերն են․

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697, 4663, 5741, 8233, 9283, 10781, 11173, 12391, 14561, 18397, 20483, 29303, 29947, 34651, 37493, 41203, 46691, 50821, 54251, 56897, 57793, 65213, 68111, 72073, 76147, 84631, 89041, 93563

Կենտրոնացված տասնանկյուն թվեր

{\displaystyle 5(n^{2}-n)+1} տեսքի պարզ թվերն են․

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281, 6301, 6661, 7411, 9461, 9901, 12251, 13781, 14851, 15401, 18301, 18911, 19531, 20161, 22111, 24151, 24851, 25561, 27011, 27751