Месяц: Сентябрь 2020

Рубрика: Անհատական պլան

2020-2021 ուս. տարվա 9-12-րդ դասարանների մաթեմատիկայի ծրագիր. համառոտ

Опубликовано автором Թաթուլ

Բովանդակություն

9-րդ   դասարան հանրահաշիվ(102ԺԱՄ)

Թվային ֆունկցիաների հատկությունները 15 ժամ

  1. Թվային ֆունկցիայի գաղափարը
  2. Թվային ֆունկցիայի հատկությունները՝ աճման, նվազման, նշանապահպանման միջակայքերը և զրոները, մեծագույն և փոքրագույն արժեքները:
  3. y = ax2 ֆունկցիան և նրա գրաֆիկը
  4. y = a(x – x0)2 + y0 ֆունկցիան և նրա գրաֆիկը
  5. Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը
  6. y=|x| ֆունկցիան ու նրա գրաֆիկը
  7. Ֆունկցիայի գրաֆիկի ձևափոխության հիմնական տեսակները` f(x+a), f(x)+a, af(x), — f(x)
  8. Առաջին և երկրորդ աստիճանի հավասարումների համակարգերի լուծման գրաֆիկական եղանակը:

Մեկ անհայտով երկրորդ աստիճանի անհավասարումներ 11 ժամ

  1. Մեկ անհայտով երկրորդ աստիճանի անհավասարման գաղափարը
  2. Երկրորդ աստիճանի անհավասարումների լուծումը
  3. Երկրորդ աստիճանի անհավասարումների բերվող  անհավասարումներ:

Ռացիոնալ անհավասարումներ 10 ժամ

  1. Միջակայքերի եղանակը
  2. Ռացիոնալ անհավասարումների լուծում
  3. Ռացիոնալ անհավասարումների համակարգեր և համախմբեր

Ռացիոնալ հավասարումներ 14 ժամ

  1. Գաղափար ռացիոնալ հավասարումների մասին
  2. Երկքառակուսային հավասարումներ
  3. Վերածվող հավասարումներ
  4. Ռացիոնալ հավասարումների լուծումը
  5. Տեքստային խնդիրների լուծում ռացիոնալ հավասարումների օգնությամբ :

Մեկ փոփոխականով բազմանդամներ 6 ժամ

  1. Գործողություններ մեկ փոփոխականով բազմանդամների հետ
  2. Բեզուի թեորեմը
  3. Մեկ փոփոխականով բազմանդամի արմատները: 

Ռացիոնալ հավասարումների համակարգեր 15 ժամ

  1. Ռացիոնալ հավասարումների համակարգի գաղափարը
  2. Առաջին և երկրորդ աստիճանի հավասարումների համակարգեր
  3. Խնդիրների լուծում առաջին և երկրորդ աստիճանի հավասարումների համակարգերի օգնությամբ
  4. Խնդիրների լուծում ռացիոնալ հավասարումների համակարգերի օգնությամբ:

Հաջորդականություններ 19 ժամ

  1. Թվային հաջորդականության գաղափարն ու հատկություններ
  2. Թվաբանական պրոգրեսիա
  3. Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը
  4. Երկրաչափական պրոգրեսիա
  5. Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամներիգումարը
  6. Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա

Հավանականությունների տեսություն և վիճակագրության տարրեր 5 ժամ

  1. Պատահույթի հավանականություն,  հավանականությունների գումարման և բազմապատկման օրենքները
  2. Տվյալների միջին քառակուսային շեղումը
  3. Հիստոգրամներ 

Կրկնություն 7 ժամ

Երկրաչափություն 9-րդ դասարան 68 ժամ

Շրջանագիծ 28 ժամ

  1. Լարի միջնակետով անցնող շառավիղը:
  2. Շրջանագծի և ուղղի փոխադարձ դասավորությունը:
  3. Շրջանագծի շոշափող:
  4. Շրջանագծի աղեղի աստիճանային չափը:
  5. Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ:
  6. Թեորեմ կենտրոնային անկյան մասին, թեորեմ ներգծյալ անկյան մասին:
  7. Անկյան կիսորդի և հատվածի միջնուղղահայացի հատկությունները:
  8. Թեորեմ եռանկյան բարձրությունների հատման մասին:
  9. Եռանկյանը ներգծած շրջանագիծ:
  10. Եռանկյանն արտագծած շրջանագիծը:
  11. Ներգծյալ և արտագծյալ քառանկյունների հատկությունները:
  12. Քառանկյանը շրջանագիծ ներգծելու և արտագծելու պայմանները:
  13. Երկու  շրջանագծերի փոխադարձ դասավորությունը:
  14. Հատվող լարերի հատկություն
  15. Շրջանագծի հատողի և շոշափողի հատկությունը:

Եռանկյունաչափական առնչություններ։Երկրաչափական մեծությունների հաշվարկներ 25 ժամ

  1. Անկյան սինուս, կոսինուս, տանգենս:
  2. Եռանկյունաչափական հիմնական նույնությունը:
  3. Բերման բանաձևեր  անկյունների համար:
  4. Կետի կոորդինատների հաշվման բանաձևերը:
  5. Եռանկյան և զուգահեռագծի մակերեսը անկյան միջոցով: 
  6. Սինուսների թեորեմը:
  7. Կոսինուսների թեորեմը:
  8. Եռանկյունների լուծումը:
  9. Քառանկյան մակերեսի բանաձևը անկյունագծերի միջողով: 
  10. Եռանկյան մակերեսի բանաձևը ներգծյալ, արտագծյալ շրջանագծերի շառավղերի միջոցով:
  11. Հերոնի բանաձևը:
  12. Չափողական աշխատանքներ։
  13. Վեկտորների սկալյար արտադրյալը: Երկու վերկտորների կազմած անկյուն։

Կանոնավոր բազմանկյուններ։ Շրջանագիծ, շրջան 10 ժամ

  1. Կանոնավոր բազմանկյուն։
  2. Կանոնավոր բազմանկյանն արտագծած ևներգծած շրջանագծերը, դրանց շառավիվների կապը։
  3. Կանոնավոր բազմանկյան կողմի և նրաններգծած, արտագծած շրջանագծերի շառավիղների կապը։
  4. Կանոնավոր բազմանկյան մակերեսը ներգծած, արտագծած շրջանագծերի շառավիղների միջոցով։
  5. Շրջանագծի երկարությունը, աղեղի երկարությունը։
  6. Շրջանի մակերեսը, շրջանային սեկտորի և սեգմենտի մակերեսները։

Կրկնություն 5 ժամ

Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր 10-րդ դասարան 68 ժամ

Իրական թվեր 14 ժամ

  1. Բնական,  ամբողջ և  ռացիոնալ թվեր
  2. Ռացիոնալ թվերի գրառումը տասնորդական կոտորակներով 
  3. Իրական  թվեր
  4. Թվաբանական  գործողություններ  իրական թվերով
  5. Իրական  թվի ո-րդ  աստիճանի  արմատ
  6. Իրական  թվի ռացիոնալ  ցուցիչով աստիճան
  7. Իրական  թվի իռացիոնալ  ցուցիչով աստիճան:

Եռանկյունաչափության տարրերը 20 ժամ

  1. Ռադիան:  Դրականև  բացասական ուղղությամբ  պտույտներ
  2. Թվային  արգումենտի  եռանկյունաչափական  ֆունկցիաները
  3. Եռանկյունաչափական  ֆունկցիաներինշանները`  ըստքառորդների  
  4. Հիմնական  եռանկյունաչափական  նույնություններ
  5. Բերման  բանաձևեր
  6. Երկու  անկյունների  գումարի և տարբերության  եռանկյունաչափական ֆունկցիաների  բանաձևերը
  7. Կրկնակի  անկյան եռանկյունաչափական  ֆունկցիաների բանաձևերը
  8. Կես  անկյան  եռանկյունաչափական  ֆունկցիաների բանաձևերը

Թվային ֆունկցիա 20 ժամ

  1. Թվային  ֆունկցիա
  2. Ֆունկցիայի  գրաֆիկ
  3. Գործողություններ  ֆունկցիաների հետ
  4. Ֆունկցիայի  գրաֆիկի ձևափոխություններ
  5. Կոտորակագծային  ֆունկցիա
  6. Սահմանափակություն,  մեծագույն և փոքրագույն  արժեքներ
  7. Ֆունկցիայի  պարբերականությունը
  8. Զույգ  ևկենտ  ֆունկցիաներ
  9. Ֆունկցիաների  մոնոտոնության միջակայքերը  և էքստրեմումները
  10. Ֆունկցիայի  հետազոտման ուրվագիծը  ևգրաֆիկի կառուցումը

Թվային արգումենտի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ և եռանկյունաչափական հավասարումներ 14 ժամ

  1. Սինուս  և կոսինուս  ֆունկցիաների հատկություններն  ու գրաֆիկները
  2. Տանգենս և կոտանգենս ֆունկցիաների  հատկություններն ու գրաֆիկները
  3. Թվի  արկսինուսը և արկկոսինուսը  
  4. Թվի արկտանգենսը  և արկկոտանգենսը
  5. Պարզագույն  եռանկյունաչափական  հավասարումների լուծման  բանաձևերը
  6. Եռանկյունաչափական  հավասարումներ:

Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր 11-րդ դասարան 68 ժամ

Աստիճանային և ցուցչային ֆունկցիաներ 20 ժամ

  1. Աստիճանային ֆունկցիա
  2. ֆունկցիան և նրա հատկությունները
  3. Ցուցչային ֆունկցիա
  4. Ցուցչային հավասարումներ
  5. Ցուցչային անհավասարումներ:

Լոգարիթմական ֆունկցիա 20 ժամ

  1. Լոգարիթմի սահմանումը
  2. Լոգարիթմի հիմնական հատկությունները
  3. Լոգարիթմական ֆունկցիա
  4. Լոգարիթմական հավասարումներ
  5. Լոգարիթմական անհավասարումներ:

Ածանցյալ 28 ժամ

  1. Ակնթարթային արագություն և արագացում
  2. Ածանցյալ
  3. Երկու ֆունկցիաների գումարի և արտադրյալի ածանցման կանոնները
  4. Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցման կանոնը
  5. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ
  6. Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները
  7. Ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափող
  8. Ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքեր: Կրիտիկական կետեր
  9. Ֆունկցիայի էքստրեմումներ
  10. Ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքներ
  11. Ֆունկցիայի հետազոտումը ածանցյալի միջոցով: Գրաֆիկի կառուցում
  12. Օպտիմիզացիայի խնդիրներ

Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր12-րդ դասարան 52 ժամ

Հավասարումներ և անհավասարումներ

  1. Անհավասարումների լուծման միջակայքերի եղանակ
  2. Իռացիոնալ հավասարումներ
  3. Իռացիոնալ անհավասարումներ
  4. Մոդուլի նշան պարունակող հավասարումներ
  5. Մոդուլի նշան պարունակող անհավասարումներ
  6. Համակցված հավասարումներ
  7. Համակցված անհավասարումներ
  8. Պարամետրով հավասարումներ
  9. Պարամետրով անհավասարումներ:

Միացությունների ու հավանականությունների տեսություն, վիճակագրություն

  1. Բազմություններ, գործողություններ բազմությունների հետ
  2. Միավորում
  3. Հատում
  4. Տարբերություն
  5. Դեկարտյան արտադրյալ
  6. Բազմության ենթաբազմությունների քանակ
  7. Կարգավորություններ, խնդիրների լուծում
  8. Տեղափոխություններ, խնդիրների լուծում
  9. Զուգորդություններ, խնդիրների լուծում
  10. Նյուտոնի երկանդամ, Պասկալի եռանկյունի
  11. Հավանականության տեսության խնդիրների լուծում՝ միացությունների տարրերի կիրառմամբ
  12. Նորմալ բաշխում, հավանականությունների որոշում աղյուսակների, ծրագրերի միջոցով:

Կրկնություն

Рубрика: Հետաքրքիր նյութեր, Նախագծեր

ՆԱԽԱԳԻԾ ՊԱՐԶ ԹՎԵՐԻ ՄԱՍԻՆ

Опубликовано автором Թաթուլ

Նախագծի ժամանակ  կքննարկենք,  թե՞ որոնք են կոչվում պարզ թվեր, և ինչ կիրառություն ունեն: Յուրաքանչյուր սովորող կհավաքի, պարզ թվերին վերաբերվող ցանկացած ինֆորմացիա: Կպարզենք, թե ինչպիսի՞ կիրառություն ունեն պարզ թվերը, հատկապես գաղտնագրման և կոդավորման ոլորտում :

Նախագծի նպատակը

  • Սովորողների մոտ առաջացնել սեր դեպի մաթեմատիկա
  • տեղեկանալ ժամանակակից մաթեմատիկայի ձեռքբերումների մասին
  • կատարել հետազոտական և թարգմանչական աշխատանքներ

Նախագծի արդյունք

  • Սովորողները իրենց բլոգներում հրապարակում են ստացած արդյունքները
  • Իրենց բլոգներում հատուկ տեղ են հատկացնում, պարզ թվերի վերաբերյալ կատարված թարգմանություններին
  • Նախագծի ավարտից հետո արդյունքները քննարկում ենք դասարանում

Ժամկետը՝ հունվարի 10-30
Մասնակիցները՝

Հիմնական նյութը՝

Մեկից մեծ բնական թիվը կոչվում է պարզ, եթե նա, չհաշված արտադրիչների հաջորդականությունը, միարժեքորեն է վերլուծվում բնական
թվերի արտադրյալի։ Հակառակ դեպքում՝ բնական թիվը կոչվում է բաղադրյալ։ Ընդգծենք, որ 1-ը չի համարվում ոչ պարզ, ոչ բաղադրյալ թիվ։ Առաջին քսան բնական թվերի հատվածում պարզ են P1= 2, P2= 3, P3= 5, P4= 7, P5= 11, P6= 13, P7= 17, P8= 19 թվերը, մնացածը, բացի 1-ից, բաղադրյալ են։ Պարզ թվերը նման են անտրոհելի տարրերի, որոնցից
բազմապատկման գործողության միջոցով կարելի է ստանալ բոլոր բնական թվերը։ Դա նման է տարրական մասնիկների դերին ֆիզիկայում կամ նրան, որ բոլոր քիմիական նյութերը կարելի է սինթեզել Մենդելեևի քիմիական տարրերի պարբերական աղյուսակի տարրերից։ Պարզ թվերի նման դերակատարումն այնքան է կարևորվել, որ համապատասխան պնդումը, ավելի ճիշտ՝ բնական թվերի՝ պարզ թվերի արտադրյալի տեսքով ներկայացման հնարավորության (այսինքն՝ գոյության) և միակության մասին պնդումը, ստացել է «թվաբանության հիմնական թեորեմ» անվանումը։

Մաթեմատիկայում և այլուր պարզ թվերը հանդիպում են ամենատարբեր իրադրություններում։ Գիտակների համար հիշատակենք, որ պարզ թվերի հետ են առնչվում, օրինակ, դաշտերի բնութագրիչները, ոչ արքիմեդյան նորմավորումները, SpecZ֊ի կետերը և այլն։
Ինչպես նշել է թվերի տեսության հայտնի մասնագետ Ա. Խինչինը. «Պարզ թվերի հիմնարար դերը մշտապես բևեռել է նրանց վրա հետազոտողների ուշադրությունը։ Ինչպիսին է նրանց բազմությունը, քա նի թիվ է պարունակում, ինչպես են նրանք
բաշխված, ինչպիսի օրինաչափությունների է ենթարկվում պարզ և բաղադրյալ թվերի իրար հաջորդումը բնական թվերի շարքում։ Բոլոր այս հարցերը բնականորեն կանգնել են տարբեր դարաշրջանների գիտնականների առջև՝ սկսած անտիկ աշխարհից
մինչև մեր օրերը, և դեռ այժմ էլ զգալի չափով գտնվում են թվաբանական գիտության ուշադրության կենտրոնում, հատկապես այն պատճառով, որ նրանց լուծումն առնչվում է արտակարգ մեծ դժվարությունների հետ»։
Գոյություն ունի հին հույներից ավանդված մի պարզ և գեղեցիկ եղանակ՝ հաջորդաբար, առանց բաց թողնելու, բոլոր պարզ թվերը ստանալու համար, որը կոչվում է էրա տ ոսթենեսի մաղ՝ այն առաջինը կիրառած հին հույն մաթեմատիկոս էրատոսթենեսի
պատվին։
Տանք հակիրճ տեղեկություններ նրա մասին։ Համարվում է, որ էրատոսթենեսը ապրել է մեր թվարկությունից առաջ 276 — 194 թթ.։ Ծնվել է Հյուսիսային Աֆրիկայի Կիրենա քաղաքում, որը գտնվում է ժամանակակից Լիբիայում, սովորել և կյանքի մեծ մասն անցկացրել է Եգիպտոսի Ալեքսանդրիա քաղաքում, նրա հռչակավոր գրադարանում։
էրատոսթենեսի բազմակողմանի գիտելիքները բարձր է գնահատել նրա ժամանակակից և
ավագ գործընկեր Արքիմեդը։

էրատոսթենեսի մաղի մեթոդը կիրառվում է հետևյալ կերպ։ Գրենք աճման կարգով բոլոր
բնական թվերը՝ սկսած երկուսից մինչև որևիցե ո բնական թիվ։ Ապա «մաղենք» այդ թվերը։ Նախ ջնջենք (կամ ընդգծենք, կամ ներկենք այլ գույնի) բոլոր այն թվերը, որոնք բաժանվում
են երկուսի՝ բացի հենց երկուսից. երկուսից հետո հաջորդ թիվը կլինի երեքը։ Թողնելով այն՝ ջնջենք բոլոր երեքի բաժանվող թվերը։ Եվ այդպես վարվենք շարոնակ, հերթական ջնջումից հետո առաջին չջնջված թիվը թողնենք, իսկ նրան բաժանվող բոլոր մնացած թվերը ջնջենք։ Գրված թվերն այսպես «մաղելուց» հետո կմնան միայն պարզ բնական թվերը, իսկ
բոլոր բաղադրյալ թվերը «կմաղվեն»։ Օրինակ՝ ո = 100 դեպքում կունենանք հետևյալ պատկերը.

Համաձայն այս աղյուսակի՝
P15= 47, P25 = 97։ Մեծացնելով ո-ը՝ կարելի է գտնել նոր մեծամեծ պարզ թվեր։ Օրինակ՝
P35 = 149, P46= 199, P70 = 349, P95 = 499, P100 = 541, P200 = 1223, P303 = 1999։
(Այսպիսով՝ անցյալ դարի վերջին տարեթիվը պարզ էր։ Քանի պարզ տարեթիվ կլինի երրորդ
հազարամյակի առաջին դարում)
Մինչև 1950 թ. հայտնի ամե նամեծ պարզ թիվը եղել է 2127 -1 թիվը, որն ունի 39 տասնորդական թվանշան, ընդ որում, այդ թվի պարզ լինելը դեռ 1876 թ. ապացուցել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Լյուկան։ 1909 թ. հրատարակվել են 10 միլիոնից փոքր բոլոր պարզ թվերի աղյուսակները։ 1951 թ. այդ աղյուսակները լրացվել են < 10999997 պարզ թվերով, իսկ 1959 թ. կազմվել է P6000000 = 104395301 պարզ թիվը չգերազանցող բոլոր պարզ թվերը պարունակող միկրոֆիլմ։ 1963 թ. հայտնի ամենամեծ պարզ թիվը 24423 -1 էր, որն ունի 1332 թվանշան։ 1985 թ. պարզ թվերի և երկվորյակ պարզ թվերի (տես ստորև) աղյուսակները հասցվել են մինչև 1011։ Հայտնի են երեք հատ 100 տասնորդական նիշ ունեցող պարզ թվեր՝ 81 * 2324 + 1, 63 * 2326+ 1, 35 * 2327 + 1 :

Ապացուցված է, որ գոյություն ունեն առնվազն երեք պարզ թվեր, որոնց թվանշանների քանակը հավասար է 1000, սակայն ոչ մի այդպիսի թիվ հայտնի չի եղել գոնե մինչև 1963 թ.։

Ցանկացած նոր պարզ թվի հայտնաբերումը համարվում է մեծ առաջընթաց։ Համակարգիչների ստեղծումից հետո սկսվում է ռեկորդների մրցավազք՝ նոր
մեծ պարզ թվեր գտնելու համար։ Եթե մինչև 1951 թ., ինչպես վերը
ասացինք, ամենամեծ հայտնի պարզ թիվը 39 նիշ ունեցող 2127–1
թիվն էր, ապա դրանից հետո տեղի է ունենում իսկական պոռթկում։ 1951 թ. մինչև 1971 թ. հայտնաբերվում են 15 նոր պարզ թվեր։ Թե նրանց հայտնաբերումն ինչ հետաքրքրություն է առաջացնում հասարակության շրջանում, վկայում է, օրինակ, հերթական նորահայտ պարզ թվին նվիրված ամերիկյան փոստային շտամպը (կնիքը), որի վրա տպված էր
«211213 — 1 » (211213 -1 թիվը պարզ է) արձանագրությունը և այդ 3 376 տասնորդական նիշ
ունեցող թիվը։ Երբ 1978 թ. երկու դպրոցական Կալիֆոռնիայից սահմանում
են նոր ռեկորդ՝ մատնանշելով 221701 -1 պարզ թիվը, մի գերմանական թերթ գրում է. «էրատոս թենեսի մաղով հաջողվել է որսալ ամենամեծ պարզ թիվը»։ Այս առիթով մասնագետներից մեկը հումորով նկատում է, որ էրատոսթենեսի մաղը դրա համար
պիտանի է նույնքան, որքան կացինը՝ ատոմի միջուկը ճեղքելու համար։

Շատ չանցած վերոհիշյալ արդյունքը գերազանցվում է, նախ ապացուցվում է, որ պարզ
են 223209 –1, ապա 244497 -1 թվերը։ 1983 թ. հայտարարվում է, որ պարզ է 25 962 թվանշանից կազմված 286243 -1 թիվը։ Թե ինչ արագությամբ են տեղի ունենում փոփոխությունները, վկայում է հետևյալը։ Ամերիկյան մաթեմատիկական ընկերության
հեղինակավոր «Nottices of the AMS» ամսագրի 2004 թ. ապրիլյան համարում «The Great Prime Number Record Races» («Մեծ պարզ թվի ռեկորդ է գրանցվել»)
հոդվածում որպես նորահայտ մեծագույն պարզ թիվ՝ նշվում է
6 320 430 տասնորդական թվանշան ունեցող 220996011 -1 թիվը, իսկ նույն ընկերության հուլիսի կեսերի Website֊ում (կայքում) տեսնում ենք, որ ամենամեծն արդեն
224036583 — 1 պարզ թիվն է, որն ունի ավելի քան յոթ միլիոն տասնորդական թվանշան։ Նշվում է նաև, որ 100 000 դոլար մրցանակ է սահմանվել 10 միլիոն թվանշանից
կազմված պարզ թվի հայտնաբերողին ։
Ստորև բերվող աղյուսակում գրանցված են առ 2008 թվականի սեպտեմբեր ամիսը հայտնի
ամենամեծ պարզ թվերը։ Առաջին սյունում համարակալվում է նրանց հաջորդականությունը նվազման կարգով, երկրորդում նշված են այդ թվերը, երրորդում՝
նրանց տասնորդական թվանշանների քանակը, չորրորդում՝ նրանց հայտնաբերման տարեթիվը։

Սույն հոդվածը տպագրության հանձնելուց հետո Ամերիկյան մաթեմատիկակ ան Միության 2008 թ. հոկտ եմբեր ամսիկայքում հայտարարություն եղավ, որ հայտնաբերվել են 13 միլիոն թվանշան ունեցող Մերսենի 45֊րդ՝ 243112609 — 1 պարզ թիվը և ապա 11 միլիոն թվանշանից կազմված Մերսենի 46-րդ՝ 237156667 -1 պարզ թիվը։ Հայտնաբերողներից
յուրաքանչյուրը ստացել է 50 հազար դոլար մրցանակ ։ Նոր՝ 150 հազար դոլար, մրցանակ
է հայտարավել 100 միլիոն կամ ավելինիշ ո ւնեցող առաջինպարզ թիվը հայտնաբերողին։

Ինչպես տեսնում ենք, 150 000 դոլար մրցանակը դեռ սպասում է իր տիրոջը։

Սովորաբար X թվից փոքր կամ հավասար պարզ թվերի քանակը նշանակում են P(X))–ով։ Ինչպես երևում է էրատոսթենեսի մաղով ստացված հարյուրից փոքր պարզ թվերի աղյուսակից, P(20) = 8, P(50) = 15, P(100) = 25։ Նմանապես (կամ օգտ վելով համապատա սխան հայտնի աղյուսակներից) կարելի է եզրակացնել, որ P(200) = 46, P(500) = 95, P(1000) = 168, P(2000) = 303։
Բերված փաստերից երևում է, որ ո բնական թվի աճին զուգընթաց պարզ թվերի խտությունը 1-ից մինչև այդ թիվն ընկած հատվածում նվազում է։ Նրանց բաշխումը գնալով նոսրանում է։ էրատոսթենեսի մաղը գնալով թվերի ավելի մեծ մասն է «բաց թողնում»։ Եթե առաջին 100 թվերից 25 են պարզ, ապա տասը միլիոնին նախորդող հարյուրյակում կա 9 պարզ թիվ, իսկ հաջորդ հարյուր թվերի հատվածում՝ ընդամենը երկու։
Կամայական ո բնական թվի համար կան պարբերաբար կրկնվող ո երկարության բնական
թվերի հաջորդականություններ, որոնցից ոչ մեկը պ ա րզ չէ։ Օրինակ՝ այդպիսին է (N + 2)–ից մինչև N + ո + 1 բնական թվերի հատվածը, որտեղ Tn = (ո + 1)! = 1*2*3*…* ո*(ո + 1)։
Կասկած է առաջանում. գուցե պարզ թվերի քանակը ընդհանրապես վերջավոր է։ Սակայն այդ վարկածն առանց դժվարության հերքվում է հակասող ենթադրությամբ։
Ենթադրենք, որ պ ա րզ թվերի հաջորդականությունը վերջավոր է, և Pn–ը ամենամեծ պարզ թիվն է։ Դիտարկենք Tn = p1 * p2 * …* pn+1 բնական թիվը և նրա բոլոր
d > 1 բաժանարարները, այսինքն՝ այնպիսի բնական թվերը, որոնց արտադրյալը որևէ բնական թվի հետ տալիս է Tn։ Ակնհայտ է, որ այդպիսի ամենափոքր բաժանարարը կլինի պարզ թիվ։ Նույնքան ակնհայտ է, որ այն չի կարող լինել p1 , p2 , …, pn թվերից որևէ մեկը (հակառակ դեպքում, 1 բնական թիվը կհանդիսանա երկու բնական թվերի արտադրյալ,
որոնցից յուրաքանչյուրը մեծ է մեկից, իսկ դա հնարավոր չէ)։ Այսպիսով՝ ստացանք, որ գոյություն ունի Pn -ից մեծ պարզ թիվ։ Դա հակասում է մեր ենթադրությանը, և ուրեմն պարզ թվերի հաջորդականությունն անվերջ է։
Առաջին անգամ այս ապացույցը բերվում է Էվկլիդեսի «Մաթեմատիկայի հիմունքներ»
տրակտատում։ Սակայն Էվկլիդեսին խորթ է անվերջության գաղափարը, և ապացուցված
փաստը նա ձևակերպում է այսպես.
«Պարզ թվերն ավելի շատ են, քան նրանց կամայական քանակը»։
Համաձայն վերը բերված ապացույցի՝ pn+ 1-ից. Tn բնական թվերի հատվածում կա գոնե
մեկ պարզ թիվ։ Դեռ 1850 թ. Չեբիշևն ուժեղացրել է այս արդյունքը՝ ապացուցելով այսպես
կոչված «Բերտրանի պոստուլատը». կամայական ո > 3 բնական թվի համար ո և 2n — 2 թվերի միջև կա առնվազն մեկ պարզ թիվ։ Կարելի է ապացուցել ավելի ուժեղ պնդում. ցանկացած ո > 5 և 2ո բնական թվերի միջև կա առնվազն երկու պարզ թիվ։
Բնական թվերի հաջորդականությունը 1 առաջին անդամով և 1 տարբերությամբ թվաբանական պրոգրեսիա է։ Կարելի է ցանկացած a և b բնական թվերի համար դնել այսպիսի ընդհանուր խնդիր. անվերջ է արդյոք պարզ թվերի քանակը b առաջինա նդամով և a տարբերությամբ թվաբանական պրոգրեսիայում։ Ակնհայտ է, որ պատասխանը
բացասական է այն դեպքում, երբ a-ն և b-ն ունեն մեկից մեծ ընդհանուր բաժանարար։ Հակառակ դեպքում, այսինքն՝ երբ a-ն ու b-ն փոխադարձաբար պարզ են, ինչպես ապացուցել է գերմանացի մաթեմատիկոս Դիրիխլեն, վերը դրված հարցի պատասխանը
դրական է. գոյություն ունեն բազմաթիվ aո + b տիպի պարզ թվեր, որտեղ ո-ը բնական թիվ է։ Սակայն խնդրի արդեն հաջորդ աստիճանի բարդացումը՝ անվերջ են արդյոք an2+bո+c
տիպի պարզ թվերը, կարծես թե, լուծված չէ անգամ պարզագույն՝ a = c = 1, b = 0 դեպքում։
Հետաքրքրական է, որ, օրինակ,
ո2 + 79ո + 1601 արտահայտությունը պարզ թվեր է տալիս ո-ի 1-ից մինչև 79՝ ներառյալ բնական արժեքների համար, սակայն ո = 80 դեպքում ստացվում է բաղադրյալ թիվ:
Հոլդբախի խնդրի մասին։ Քյոնիգսբերգ (այժմ՝ Կալինինգրադ) քաղաքում 1690 թ. ծնված
և հասուն կյանքի մեծ մասը Ռուսաստանում անցկացրած մաթեմատիկոս Քրիստիան Հոլդբախը գիտության պատմության մեջ մնացել է հիմնականում 1742թ. հռչակավոր մաթեմատիկոս էյլերին առաջարկած հետևյալ խնդրով. ճիշտ է արդյոք, որ երկուսից մեծ ցանկացած զույգ թիվ երկու պարզ թվերի գումար է (օրինակ՝ 4 = 2+2, 6 = 3+3,
8 = 3+5, 10 = 3+7 = 5+5, … ), իսկ հինգից մեծ կամայական կենտ թիվ՝ երեք պարզ թվերի գումար (7 = 2+2+3, 11 = 3+3+5, … ):
Դժվար չէ նկատել, որ այս երկու հարցադրումները համարժեք են, այսինքն՝ նրանցից մեկի ճիշտ լինելուց կհետևի մյուսի ճիշտ լինելը։ էյլերին չի հաջողվել լուծել այդ խնդիրը։ Նրա ամբողջական լուծումը չկա ցայսօր։ Առավելագույն առաջընթացը արձանագրել են ռուսական մաթեմատիկոսներ Շնիրելմանը 1930 թ. և Վինոգրադովը 1936 թ.։
Նկատենք, որ բոլոր պարզ թվերը կենտ են՝ բացի 2-ից (հին հույները հաճախ 2-ը անգամ չեն
համարել պ արզ թիվ)։ Այսինքն՝ չհաշված 2-ը և 3-ը՝ պարզ թվերի միջև կա առնվազն մեկ բաղադրյալ թիվ։ Կենտ թվերի շարքում իրար անմիջականորեն հաջորդող
երկու պարզ թվերը կոչվում են երկվորյա կ պ ա րզ թվեր։
Ւնչպես երևում է վերը բերված աղյուսակից, առաջին 100 բնական թվերի շարքում երկվորյակ պարզ թվերը հետևյալներն են. (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17,19), (29, 31), (41, 43), (59, 61),(71, 73)։
Երեսուն միլիոնից փոքր բնական թվերի շարքում կա 152 892 այդպիսի զույգ։ 1985 թ. հայտնի ամենամեծ երկվորյակ պարզ թվերից յուրաքանչյուրն ունի 303 թվանշան։ Մինչև 2008 թ. սեպտեմբեր հայտնի ամենամեծ երկվորյակ պարզ թվերը հետևյալներն են.
Այս աղյսակի սյուները կազմված են նա խորդ աղյուսակի սկզբունքով։

Ցայսօր հայտնի չէ՝ անվերջ է արդյոք երկվորյակ պարզ թվերի քանակը։ Կան և այլ, ավելի նուրբ չլուծված խնդիրներ՝ կապված երկվորյակ պարզ թվերի հետ։ Չորս հաջորդական պարզ թվեր՝ pn , pn+1 ,pn+2 , pn+3 կարող են կազմել երկվորյակ թվերի երկու զույգ։ Օրինակ՝ ո = 3 դեպքում 5, 7, 11, 13 հաջորդական պարզ թվերից ստացվում են (5, 7) և (11, 13) երկվորյակները, իսկ ո = 5 դեպքում՝ (11, 13) և (17, 19) երկվորյակների զույգերը։ Բերված երկու դեպքերում էլ՝ pn+1 = pn+2 — 4։

Լեոնարդ էյլեր

Այսպիսի չորս հաջորդական պարզ թվերը կոչվում են քառյակ։ Ընթերցողին առաջարկում
ենք փորձել ինքնուրույն գտնել նոր քառյակներ։ Հաջողվել է հաշվել, որ առաջին տասը միլիոն բնական թվերի շարքում կա 899 քառյակ, իսկ տասնհինգ միլիոնում՝ 1209։ Ամենամեծ հայտնի քառյակը 1963 թ. եղել է հետևյալը. 2 863 308 731, 2 863 308
733, 2 863 308 737, 2 863 308 739։
Չապացուցված (և չհերքված) վարկած կա, որ քառյակների քանակն անվերջ է։
Երկվորյակ պարզ թվերի մասին խնդիրը կարելի է վերաձևակերպել այսպես. ճիշտ
է, որ 2-ը կարելի է անվերջ թվով եղանակներով ներկայացնել որպես երկու պարզ թվերի տարբերություն։ Կա ենթադրություն, որ կամայական զույգ թիվ կարելի է անվերջ քանակով
(եղանակներով) պատկերել որպես երկու հաջորդական պարզ թվերի՝ pn+1 — pn տարբերություն։ Սակայն ապացուցված չէ անգամ, որ յուրաքանչյուր զույգ թվի համար կա գեթ մեկ այդպիսի ներկայացում, չնայած որ դա ստուգված է շատ դեպքերի համար (4=11 -1 = 17 — 13, 6 = 29 — 23, 8 = 97 — 89 և այլն)։ Անգամ ապացուցված չէ, որ ցանկացած զույգ թիվ որևիցե (պարտադիր չէ հաջորդական) երկու պարզ թվերի տարբերություն է։
Այժմ սահմանափակվենք այսքանով։ Պարզ թվերին նվիրված երկրորդ հոդվածում մենք կանդրադառնանք նրանց մի շարք հետաքրքրաշարժ հատկություններին և հակիրճ կլուսաբանենք 2002 թ. երիտասարդ հնդիկ մաթեմատիկոսների փայլուն արդյունքը՝ պարզ թվերի վերաբերյալ, ինչպես նաև կծանոթանանք պարզ թվերի հետ սերտորեն կապված
կատարյալ, բարեկամական և շփվող թվերի հետ։

Рубрика: Նախագծեր, Անհատական պլան

Մաթեմատիկայի ընտրությամբ գործունեության խումբ:10- 12-րդ դասարանի 2020-2021 ուս. տարվա առարկայական ծրագիր

Опубликовано автором Թաթուլ

Ավագ դպրոցի 10- 12-րդ դասարանի «Մաթեմատիկա» առարկայի ծրագիրը կազմվել է հիմք ընդունելով «Կրթության մասին», «Հանրակրթության մասին» ՀՀ օրենքները,  Հանրակրթության պետական չափորոշիչի  և «Մխիթար Սեբաստացի» կրթահամալիրում  առարկայական ծրագրերի մշակման ներկայացվող պահանջները:

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՆՊԱՏԱԿՆԵՐՆ ԵՆ՝

1.ՍՈՎՈՐՈՂԻ ՄՈՏ ՁԵՒԱՎՈՐԵԼ ԵՒ ԶԱՐԳԱՑՆԵԼ

·    Տրամաբանական, լեզվական մտածողություն
·    Թվաբանական գիտելիքներ և մեթոդներ
·    Գործնական իրադրություններում կիրառելու կարողություններ  դիտարկելու, կռահելու, եզրակացություններ անելու կարողություններ
·   Որոշումների կայացնելու, սեփական և ուրիշների դատողություններին քննադատաբար վերաբերվելու
·    Խմբում աշխատելու կարողություններ
· Ուշադրություն, հիշողություն, աշխատասիրություն, Հանդուրժողականություն, նպատակասլացություն, համբերություն  սերմանել
·     Վստահություն սեփական ուժերի նկատմամբ
·     Ձևավորել ինքնուրույն աշխատելու, համաձայնության գալու կուլտուրա:

2. Ուսումնական միջավայրը`
Ուսումնական կաբինետ,  համացանց, պրոյեկտոր, ուսումնական նյութերի, ծրագրերի փաթեթներ : Համացանցում ուսուցման միջավայրը` մաթեմատիկական կայքեր, դասավանդողի, դասարանի բլոգ, կրթահամալիրի, գրադարանի կայք : Դասավանդողին անհրաժեշտ գործիքներ և նյութեր`նոութբուք կամ նեթբուք,  էլեկտրոնային մատյան, անձնական բլոգ, կայք, համակարգչային ծրագրերի և ուսումնական նյութերի փաթեթներ, ձայնագրիչ, ֆոտոխցիկ : Սովորողին անհրաժեշտ գործիքներ և նյութեր` նոութբուք կամ նեթբուք, էլեկտրոնային գրքեր, դասավանդողի կողմից առաջարկված ուսումական նյութերի փաթեթներ, անձնական բլոգ:
Ուսումնական նյութեր` պետական հանրակրթական ծրագրով նախատեսված  դասագրքերի թվային տարբերակներ, էլեկտրոնային մաթեմատիկական ձեռնարկներ, խնդրագրքեր, ուսումնական նախագծերի փաթեթներ:

3.Ծրագրային նյութի յուրացման կազմակերպումը :
Ուսումնական պարապմունքների նկարագրություն`
Դասերը կազմակերպվում են ըստ ուսումնական պլանով նախատեսված ժամաքանակի և կրթահամալիրյան օրացույցի: Կրթահամալիրում դասերը սկսվում են առավոտյան ընդհանուր պարապմունքով: Սովորողների քանակը` 20-25, որոնց թվում նաև հատուկ կրթությամբ սովորողներ: Դասերը կազմակերպվում են ուսումնական կաբինետում, ընթերցասրահում, բակում և այլ ուսումնական միջավայրում` 45 րոպե տևողությամբ՝ համապատասխան գործիքների, թվային ուսումնական նյութերի օգտագործմամբ: Դասապրոցեսի ընթացքում դասավանդողը կազմակերպում է ծրագրով նախատեսված նյութի, կարողությունների ու հմտությունների յուրացումը:
Ուսումնական նյութերի, միջոցների օգտագործում :
Սովորողները գրադարանի կայքից ներբեռնում են անհրաժեշտ դասագրքեր, ձեռնարկներ, խնդրագրքեր և այլ ուսումնական նյութեր:Դասավանդողը ուսումնական նյութերը, առաջադրանքները, օգտակար տեղեկատվությամբ հոդվածները, ֆիլմերը կամ հղումները տեղադրում է բլոգում, որից օգտվում են սովորողները:
Սովորողի ուսումնական գործունեության ձևերը:

·        Խնդիրների, վարժությունների, թեստերի լուծում
·        Գրավոր աշխատանք դասարանում, տանը
·        Համակարգչային ծրագրերի օգտագործում  ստուգատեսներին և կրթահամալիրի օրացույցով նախատեսված նախագծերին և ծեսերին :
·        Մասնակցություն  ուսումնահասարակական նախագծերին, ճամփորդություններին, ճամբարներին
·        Մասնակցություն Դասարանում և տանը ուսումնական պարապմունքի կազմակերպում
·        Դասերը կազմակերպվում են ուսումնական կաբինետում, որն ապահովված է անհրաժեշտ ուսումնական գործիքներով և նյութերով:
·        Դասի տևողությունը 45 րոպե է:
·        Դասարանային աշխատանքները սովորողները կատարում են իրենց անհատական համակարգիչներում, որոնց հետևելու, մեկնաբանելու և խմբագրելու հնարավորություն ունի դասավանդողը:
·        Տնային աշխատանքների փաթեթն ուղարկվում է այն սովորողների էլեկտրոնային հասցեներին, ովքեր ընտրել են տնային աշխատանքը՝ որպես լրացուցիչ կրթություն: Այդ աշխատանքը ունի հստակ վերջնաժամկետ, որից հետո դասավանդողը նշանակում է խորհրդատվության (քննարկման) ժամ և քննարկում սովորողների հետ իրենք կատարած աշխատանքը:

4. Գնահատման համակարգ
Սովորողի ուսումնական աշխատանքի գնահատումը կատարվում է ըստ հեղինակային կրթական ծրագրի չափորոշչով որոշված գնահատման համակարգի ՝ 10 միավորանոց համակարգով: Սովորողը ցանկության և հնարավորության դեպքում կարող է փոխել գնահատականը: Մաթեմատիկա դասընթացի առարկայական ծրագրով նախատեսված թեմաների ուսուցումն ու յուրացումը կազմակերպվում է դասարանում և յուրաքանչյուր դասաժամի ընթացքում սովորողը հնարավորություն ունի առաջարկվող առաջադրանքներից հավաքել միավորներ, որոնք վերջում վերածվում են գնահատականի: Սովորողը դասապրոցեսի ընթացքում ստանում է միավորներ և բանավոր հարցումից , և հանձնարարված նախագծային աշխատանքից: Յուրաքանչյուր սովորող հնարավորություն ունի խորացնել իր գիտելիքները մաթեմատիկայից ՝ իր ցանկությամբ ընտրելով լրացուցիչ հանձնարարությունների փաթեթ, որի առաջադրանքները նա կատարում է տանը: Տանը կատարվող աշխատանքի համար սովորողը չի գնահատվում (թվանշանով չի գնահատվում ) , սովորողի կատարած աշխատանքը ուղարկվում է դասավանդողի էլեկտրոնային հասցեին, դասավանդողը ստուգում է այն, իսկ աշխատանքի քննարկումը կատարվում է թե առցանց և թե նախապես նշանակված խորհրդատվության ժամերին: Սովորողը անբավարար գնահատական է ստանում, եթե չի կատարում նախագծային աշխատանքները և մինչև կիսամյակի ավարտը հնարավորություն ունի շտկելու այն: Առավելագույն 10 միավոր սովորողը ստանում է, եթե մասնակցում է նաև հետազոտական աշխատանքների, մաթեմատիկական ստուգատեսների, մրցույթների և արժանանում մրցանակի: Սովորողի կիսամյակային գնահատականը ձևավորվում է ըստ կատարած աշխատանքի թվային և որակական հատկանիշների, իսկ տարեկան գնահատականը նշանակվում է հաշվի առնելով կիսամյակային գնահատականները:

«Մաթեմատիկա» առարկայի ուսուցման հիմնական նպատակներն են.

  • մաթեմատիկական այնպիսի գիտելիքների ու կարողությունների հաղորդումն ու ձևավորումը, ինչն անհարաժեշտ է գործնական կիրառությունների, հարակից առարկաների ուսումնասիրման և կրթության շարունակականության համար,
  • սովորողների մտքի պարզության ու հստակության, քննադատական, վերլուծական, տրամաբանական և ալգորիթմական մտածողության, ինտուիցիայի, տարածական պատկերացումների ձևավորումն ու զարգացումը,
  • մաթեմատիկայի, որպես գիտության ու տեխնիկայի ունիվերսալ լեզվի, երևույթների ու պրոցեսների մոդելավորման միջոցի մասին պատկերացումների ձևավորումը,
  • մաթեմատիկայի, որպես համամարդկային մշակույթի բաղադրիչի, գիտա-տեխնիկական առաջընթացում նրա նշանակալի ներդրման ընկալման ձևավորումը:

Ուսուցման նպատակները՝ ըստ կրթական աստիճանների.

10-12-րդ դասարաններում «Հանրահաշիվ և մաթ․անալիզի տարրեր» առարկայի (դասընթացի) ուսուցման նպատակներեն`

  • ընդհանուր մտահորիզոնի ընդլայնումը, տրամաբանական, լեզվական մտածողության զարգացումը,
  • որպես գիտության և տեխնիկայի ուսումնասիրության համընդհանուր լեզվի, ինչպես նաև որպես երևույթների և գործընթացների համակարգման միջոց՝ մաթեմատիկական հասկացությունների և մեթոդների պատկերացման ձևավորումը,
  • մտավոր կարողությունների զարգացումը, ինչպես նաև անհատին ժամանակակից հասարակությանը ներգրավվելու համար անհրաժեշտ անձնային որակների ձևավորումը. մտքի հստակություն և ճշգրտություն, վերլուծական և տրամաբանական մտածողություն, տարածական ընկալում, դժվարությունների հաղթահարման հմտություններ և այլն,
  • հետազոտական աշխատանքների կարողության զարգացումը,
  • ինքնուրույն աշխատելու, ընկերների հետ համագործակցելու, համաձայնության գալու, սեփական կարծիքը հայտնելու մշակույթի զարգացումը:

10-12-րդ դասարաններում «Երկրաչափություն» առարկայի (դասընթացի) ուսուցման նպատակներն են`

  • հարթաչափության դասընթացից ձեռք բերված գիտելիքների ու հմտությունների զարգացումն ու ամրապնդումը,
  • երկրաչափական լեզվի տիրապետումը, շրջակա աշխարհը նկարագրելու դրա օգտագործման հմտության զարգացումը, տարածական պատկերացումների, նկարչական կարողությունների, երկրաչափական կառուցումների, գծագրերում, մոդելներում և իրական աշխարհում երկրաչափական պատկերների ճանաչման հմտությունների ձևավորումը,
  • տրամաբանական մտածողության, երևակայության,  ինտուիցիայի զարգացումը,
  • ապացուցման մեթոդների, լուծման ալգորիթմների տիրապետումը և կիրառումը, խնդիրների լուծման ընթացքում ապացուցման դատողություններ անելու կարողությունը,
  • ԲՈՒՀ -ում մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի ու ճարտարագիտական մասնագիտությունների ուսումնասիրման նախապատրաստմանը,
  • գիտության գործնական նշանակության, բնագիտական առարկաներում ու մարդու տեխնիկական գործունեությունում բազմաբնույթ կիրառությունների մասին պատկերացումների զարգացումը,
  • նախաձեռնողականության դաստիարակումը, դժվարությունները հաղթահարելու կամային որակների ու պատրաստակամության զարգացումը,
  • ստեղծող, անընդհատ կրթվող և ինքնակրթվող, ինքնուրույն, սոցիալապես ակտիվ անհատի ձևավորումը:

«Մաթեմատիկա» առարկայի հիմնական գաղափարները

Ծրագրի հիմքում դրված են հինգ հիմնական գաղափարներն ու դրանց ենթագաղափարները, դրանց ուսուցման շարունակակնությունն ու աստիճանականությունը, ինչը նպատակաուղղված է սովորողների ուսումնառության ակնկալվող վերջնարդյունքների` գիտելիքների, հմտությունների, վերաբերմունքի և արժեքների ձևավորմանը հանրակրթական հիմնական ծրագրերի կրթական աստիճանների ավարտին։

Թվեր, թվային համակարգեր

  • Թվեր, բազմություններ
  • Թվաբանական և հանրահաշվական արտահայտություններ և գործողություններ
  • Թվերի համեմատում

Տվյալների վերլուծություն և մեկնաբանում

  • Վիճակագրություն
  • Հավանականությունների տեսություն
  • Միացություններ

Մաթ. մոդելավորում, ֆունկցիաներ

  • Մաթեմատիկական տրամաբանություն
  • Հավասարումներ
  • Անհավասարումներ
  • Ֆունկցիաներ
  • Տեքստային խնդիրներ
  • Մաթ. անալիզի տարրեր

Մեծություններ, չափումներ

  • Երկրաչափական և ֆիզիկական մեծությունների չափում

Երկրաչափություն

  • Հարթաչափություն
  • Տարածաչափություն
  • Կոորդինատներ, վեկտորներ

Մաթեմատիկա առարկայի ուսուցման հիմնական սկզբունքները

  • Գիտականության սկզբունքը: 
  • Դաստիարակության սկզբունքը:
  • Ակնառուության սկզբունքը:
  • Գիտակցվածության, ակտիվության ու ինքնուրույնության սկզբունքը:
  • Գիտելիքների ու կարողությունների կիրառելության սկզբունքը:
  • Համակարգվածության ու հաջորդականության սկզբունքը:
  • Հասանելության սկզբունքը:
  • Տարբերակվածության սկզբունքը:
  • Աշակերտակենտրոնության սկզբունքը։
  • Արժեքային ուսուցման սկզբունքը։

Նախագծեր

Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր 10-րդ դասարան (խորացված)

Իրական թվեր

  1. Բնական,  ամբողջ և  ռացիոնալ թվեր
  2. Ռացիոնալ թվերի գրառումը տասնորդական կոտորակներով 
  3. Իրական  թվեր
  4. Թվաբանական  գործողություններ  իրական թվերով
  5. Իրական  թվի ո-րդ  աստիճանի  արմատ
  6. Իրական  թվի ռացիոնալ  ցուցիչով աստիճան
  7. Իրական  թվի իռացիոնալ  ցուցիչով աստիճան:

Եռանկյունաչափության տարրերը

  1. Ռադիան:  Դրականև  բացասական ուղղությամբ  պտույտներ
  2. Թվային  արգումենտի  եռանկյունաչափական  ֆունկցիաները
  3. Եռանկյունաչափական  ֆունկցիաներինշանները`  ըստքառորդների  
  4. Հիմնական  եռանկյունաչափական  նույնություններ
  5. Բերման  բանաձևեր
  6. Երկու  անկյունների  գումարի և տարբերության  եռանկյունաչափական ֆունկցիաների  բանաձևերը
  7. Կրկնակի  անկյան եռանկյունաչափական  ֆունկցիաների բանաձևերը
  8. Կես  անկյան  եռանկյունաչափական  ֆունկցիաների բանաձևերը
  9. Եռանկյունաչափական  ֆունկցիաների արտադրյալի  և գումարի բանաձևերը
  10. Եռանկյունաչափական  արտահայտությունների  նույնական ձևափոխություններ

Թվային ֆունկցիա

  1. Թվային  ֆունկցիա
  2. Ֆունկցիայի  գրաֆիկ
  3. Գործողություններ  ֆունկցիաների հետ
  4. Ֆունկցիայի  գրաֆիկի ձևափոխություններ
  5. Կոտորակագծային  ֆունկցիա
  6. Սահմանափակություն,  մեծագույն և փոքրագույն  արժեքներ
  7. Ֆունկցիայի  պարբերականությունը
  8. Զույգ  ևկենտ  ֆունկցիաներ
  9. Ֆունկցիաների  մոնոտոնության միջակայքերը  և էքստրեմումները
  10. Ֆունկցիայի  հետազոտման ուրվագիծը  ևգրաֆիկի կառուցումը
  11. Հակադարձ  ֆունկցիան և  նրա գրաֆիկը:

Թվային արգումենտի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ և եռանկյունաչափական հավասարումներ

  1. Սինուս  և կոսինուս  ֆունկցիաների հատկություններն  ու գրաֆիկները
  2. Տանգենս և կոտանգենս ֆունկցիաների  հատկություններն ու գրաֆիկները
  3. Թվի  արկսինուսը և արկկոսինուսը  
  4. Թվի արկտանգենսը  և արկկոտանգենսը
  5. Պարզագույն  եռանկյունաչափական  հավասարումների լուծման  բանաձևերը
  6. Եռանկյունաչափական  հավասարումներ:

Հավանականության տեսություն և վիճակագրություն

  1. Անկախ և կախյալ պատահույթներ
  2. Դիսկրետ պատահական մեծություններ
  3. Դիսկրետ պատահական մեծությունների մաթեմատիկական սպասում և դիսպերսիա 
  4. Դիսկրետ բաշխումներ, երկանդամային բաշխում:

Կրկնություն:

Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր 11-րդ դասարան (խորացված)

Աստիճանային և ցուցչային ֆունկցիաներ

  1. Աստիճանային ֆունկցիա
  2. ֆունկցիան և նրա հատկությունները
  3. Ցուցչային ֆունկցիա
  4. Ցուցչային հավասարումներ
  5. Ցուցչային անհավասարումներ:

Լոգարիթմական ֆունկցիա

  1. Լոգարիթմի սահմանումը
  2. Լոգարիթմի հիմնական հատկությունները
  3. Լոգարիթմական ֆունկցիա
  4. Լոգարիթմական հավասարումներ
  5. Լոգարիթմական անհավասարումներ:

Թվային հաջորդականություն, սահման

  1. Թվային հաջորդականություն
  2. Հաջորդականության սահման, զուգամետ/ոչ զուգամետ հաջորդականություններ
  3. Սահմանների հաշվման օրինակներ
  4. Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձև,
  5. Պարբերական կոտորակներ
  6. Շրջանագծի երկարությունը և շրջանի մակերեսը

Ֆունկցիայի անընդհատություն: Ածանցյալ

  1. Ֆունկցիայի անընդհատություն
  2. Տարրական ֆունկցիաների անընդհատություն
  3. Ակնթարթային արագություն և արագացում
  4. Ածանցյալ
  5. Երկու ֆունկցիաների գումարի և արտադրյալի ածանցման կանոնները
  6. Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցման կանոնը
  7. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ
  8. Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները
  9. Ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափող
  10. Ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքեր: Կրիտիկական կետեր
  11. Ֆունկցիայի էքստրեմումներ
  12. Ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքներ
  13. Ֆունկցիայի հետազոտումը ածանցյալի միջոցով: Գրաֆիկի կառուցում
  14. Օպտիմիզացիայի խնդիրներ
  15. Երկրորդ կարգի ածանցյալ:

Պայմանական հավանականություն: Նորմալ բաշխում

  1. Պայմանական հավանականություն
  2. Անընդհատ պատահական մեծություններ
  3. Անընդհատ պատահական մեծությունների մաթեմատիկական սպասում և դիսպերսիա
  4. Նորմալ բաշխում: Ստանդարտացում
  5. Նորմալ բաշխումով մոդելավորում

Կրկնություն

Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր12-րդ դասարան (խորացված)

Հավասարումներ և անհավասարումներ

  1. Անհավասարումների լուծման միջակայքերի եղանակ
  2. Իռացիոնալ հավասարումներ
  3. Իռացիոնալ անհավասարումներ
  4. Մոդուլի նշան պարունակող հավասարումներ
  5. Մոդուլի նշան պարունակող անհավասարումներ
  6. Համակցված հավասարումներ
  7. Համակցված անհավասարումներ
  8. Պարամետրով հավասարումներ
  9. Պարամետրով անհավասարումներ:

Ինտեգրալ

  1. Ֆունկցիայի նախնական
  2. Անորոշ ինտեգրալ, հատկությունները և հիմնական բանաձևերը
  3. Որոշյալ ինտեգրալ, հիմնական հատկությունները, Նյուտոն-Լեյբնիցի բանաձև
  4. Ինտեգրալի կիրառությունը խնդիրներ լուծելիս
  5. Մակերեսի հաշվում
  6. Պտտման մարմնի ծավալի հաշվում
  7. Շարժում, աշխատանք:

Միացությունների ու հավանականությունների տեսություն, վիճակագրություն

  1. Բազմություններ, գործողություններ բազմությունների հետ
  2. Միավորում
  3. Հատում
  4. Տարբերություն
  5. Դեկարտյան արտադրյալ
  6. Բազմության ենթաբազմությունների քանակ
  7. Կարգավորություններ, խնդիրների լուծում
  8. Տեղափոխություններ, խնդիրների լուծում
  9. Զուգորդություններ, խնդիրների լուծում
  10. Նյուտոնի երկանդամ, Պասկալի եռանկյունի
  11. Հավանականության տեսության խնդիրների լուծում՝ միացությունների տարրերի կիրառմամբ
  12. Նորմալ բաշխում, հավանականությունների որոշում աղյուսակների, ծրագրերի միջոցով:

Կրկնություն

Երկրաչափություն 10-րդ դասարան (խորացված)

Ուղիղների և հարթությունների զուգահեռությունը

  1. Տարածաչափության աքսիոմները և հետևանքները։
  2. Զուգահեռ ուղիղներ ըտարածության մեջ
  3. Երեք ուղիղների զուգահեռությունը
  4. Ուղղի և հարթության զուգահեռությունը
  5. Խաչվող ուղիղներ
  6. Համուղղված կողմերով անկյուններ, ուղիղների կազմած անկյունը
  7. Հարթությունների զուգահեռությունը
  8. Զուգահեռ հարթությունների հատկությունները
  9. Քառանիստ։
  10. Զուգահեռանիստ։
  11. Հատույթների կառուցման խնդիրներ։

Ուղիղների և հարթությունների ուղղահայացությունը

  1. Ուղղի և հարթության ուղղահայացությունը
  2. Հարթությանն ուղղահայաց, զուգահեռ ուղիղներ
  3. Ուղղի և հարթության ուղղահայցության հայտանիշը
  4. Թեորեմ հարթությաննուղղահայց ուղղի մասին
  5. Կետի հեռավորությունը հարթությունից
  6. Թեորեմ երեքուղղահայացների մասին
  7. Ուղղի և հարթության կազմած անկյունը
  8. Երկնիստանկյուն
  9. Երկու հարթությունների ուղղահայացության հայտանիշը
  10. Ուղղանկյուն զուգահեռանիստ:

Բազմանիստեր

  1. Բազմանիստեր։
  2. Ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ բազմանիստեր։
  3. Պրիզմա, նրա մակերևույթը, մակերևությի փռվածքը։
  4. Ուղիղ և թեք պրիզմա։Կանոնավոր պրիզմա։
  5. Բուրգ, դրա մակերևույթը, մակերևույթի փռվածքը։
  6. Հատած բուրգ, դրա մակերևույթը, մակերևույթի փռվածքը։
  7. Պրիզմայի, զուգահեռանիստի, ուղղանկյունանիստի, խորանարդի, բուրգի հատույթներ։

Կրկնություն

Երկրաչափություն 11-րդ դասարան (խորացված)

Գլան, կոն, գունդ

  1. Գլանային մակերևույթ: Գլան, նրա տարրերը, առնչություններ գլանի տարրերի միջև: Գլանի ստացումը պտտման միջոցով: Գլանի հատումը առանցքին ուղղահայաց և զուգահեռ հարթություններով:
  2. Գլանի մակերևույթի փռվածքը, կողմնային և լրիվ մակերևույթների մակերեսները:
  3. Կոնային մակերևույթ: Կոն, դրա տարրերը, առնչություններ կոնի տարրերի միջև, կոնի ստացումը պտտման միջոցով: Կոնի հատումը առանցքին ուղղահայաց և գագաթով անցնող հարթություններով:
  4. Կոնի մակերևույթի փռվածքը, կողմնային և լրիվ մակերևույթների մակերեսները:
  5. Հատածկոն, դրատարրերը, առնչություններ հատած կոնի տարրերիմիջև, հատած կոնի ստացումը պտտման միջոցով:
  6. Հատած կոնի մակերևույթի փռվածքը, մակերևույթի մակերեսը:
  7. Գնդային մակերևույթև գունդ:
  8. Գնդային մակերևույթի և հարթության փոխադարձ դասավորությունը: Գնդային մակերևույթի շոշափողուղիղ և հարթություն, դրանց և շոշափման կետին տարված շառավիղի հատկությունները:
  9. Գնդի հատումը հարթությամբ:
  10. Գնդային մակերևույթի, գնդային գոտու, սեգմենտի, սեկտորի մակերևույթի մակերեսների բանաձևերը:
  11. Պտտական մարմինների ններգծյալ և արտագծյալ բազմանիստեր:
  12. Բազմանիստերի և պտտական մարմինների համակցումով ստացված մարմիններ:

Վեկտորները և կոորդինատները տարածության մեջ

  1. Վեկտորի հասկացությունը: Համագիծ և տարագիծ վեկտորներ:
  2. Վեկտորների հավասարությունը:
  3. Վեկտորների գումարումը և հանումը:
  4. Վեկտորի բազմապատկումը թվով:
  5. Համահարթ և տարահարթ վեկտորներ, վեկտորների համահարթության հայտանիշը, երեք տարահարթ վեկտորների գումարման զուգահեռանիստի կանոնը:
  6. Վեկտորի վերածումը ըստ երեք տարահարթ վեկտորների: Վեկտորների կիրառությունը երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս:
  7. Կոորդինատների ուղղանկյուն համակարգը տարածության մեջ:
  8. Կետի կոորդինատները և վեկտորի կոորդինատները, դրանց կապը:
  9. Երկու կետերի հեռավորությունը կոորդինատներով, վեկտորի երկարությունը, հատվածի միջնակետի կոորդինատները:
  10. Կոորդինատային սկզբնակետի, առանցքների և հարթությունների նկատմամբ համաչափ կետերի կոորդինատները:
  11. Վեկտորների գումարման, հանման, թվով բազմապատկման գործողությունները կոորդինատներով:
  12. Վեկտորների կազմած անկյունը, վեկտորների սկալյար արտադրյալը:
  13. Ուղղի, հարթության կանոնական հավասարումները, գնդային մակերևույթի հավասարումը:
  14. Կոորդինատային մեթոդի կիրառությունը երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս:
  15. Հարթության և տարածության արտապատկերումներ. հարթության վրա զուգահեռ տեղափոխում և պտույտ կետի շուրջը, տարածության մեջ կենտրոնային, առանցքային համաչափություններ, զուգահեռ տեղափոխում և պտույտ առանցքի շուրջը:

Կրկնություն

Երկրաչափություն 12-րդ դասարան (խորացված)

Բազմանիստերիծավալ

  1. Ծավալի գաղափարը
  2. Ուղղանկյունանիստի ծավալը
  3. Պրիզմայի ծավալը
  4. Բուրգի ևհատած բուրգի ծավալները:

Պտտական մարմինների ծավալները և մակերևույթները

  1. Գլանի ծավալը
  2. Կոնի ծավալը
  3. Հատած կոնի ծավալը
  4. Գնդի ծավալը
  5. Գնդի մասերը. կիսագունդ, գնդային գոտի, թաղանթ, սեկտոր և սեգմենտ: Գնդի և նրա մասերի մակերևույթների մակերեսները:
  6. Բազմանիստերի և պտտական մարմինների համակցումից ստացված մարմինների ծավալը
  7. Գնդային մակերևույթի մակերեսը:
Рубрика: Ճամփորդություն, Նախագծեր

Երեկոյան աստղադիտում Բյուրականում

Опубликовано автором Թաթուլ

Ինչպես և նախատեսել էինք սեպտեմբերի 4-ի երեկոյան արդեն պատրաստ էինք մեկնել Բյուրական: Նախ պահպանելով սանիտարահամաճարակային բոլոր կանոնները տեղավորվեցինք շատ հարմարավետ ավտոբուսում և շարժվեցինք: Նշեմ որ ճանապարհը շատ կարճ է տևում, 30-40 րոպե և շատ արագ հասանք Բյուրական:

Բյուրականը Հայաստանի ամենահարմար վայրերից մեկն է աստղադիտարան կարուցելու համար:

  • Նախ այն գտնվում է ծովի մակարդակից 1500մ բարձրության վրա, այստեղ օդը մաքուր է փոշուց և ծխից, ինչը մեծացնում է օդի թափանցելիությունը:
  • Աստղերից եկող լույսն անցնում է մթնոլուտի ավելի բարակ շերտի միջով՝ հետևաբար ավելի քիչ է բեկվում:
  • Բավականին հեռու է խոշոր քաղաքներից՝ հետևաբար նրանց լուսավորությունը չի խանգարում աստղադիտմանը: Աստղադիտարանի տարածքը նույնպես չէր լուսավորվում:

Սկզբում սովորողները տեղեկություններ ստացան Բյուրականի աստղադիտարանի ստեղծման պատմության և ծավալած գործունեության մասին, շրջեցին աստղադիտարանի տարածքով, որտեղ ապրել ու աշխատել է հայտնի աստղաֆիզիկոս, ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների դոկտոր, պրոֆեսոր, ակադեմիկոս և Հայաստանի ազգային հերոս Վիկտոր Համազասպի Համբարձումյանը, իսկ այնուհետև ծավալվեց հետաքրքիր ուսուցողական զրույց:

Փոքրիկ էքսկուրսիա կատարեցինք նաև Բյուրականով: Մեր խմբին սիրով միացել էր աստղադիտարանի երիտասարդ աշխատակից Արշալույսը, ով ամբողջ էքսկուրսի ընթացքում պատասխանում էր երեխաների զարմանալիորեն բավականին լավ իրազեկված ամենատարբեր հարցերին: Օրը հագեցած էր տիեզերքին նվիրված ամենատարբեր տեղեկություններով, հարց-պատասխաններով ու խաղերով:

Որից հետո սկսվեց աստղադիտումը և հատկապես ոգևորված էին երեխաները:

Որից հետո նոր զգացողություններով, և ինչու չէ գիտելիքներով, կեսգիշերին վերադարձանք Երևան: Շատ ուսուցողական և ճանաչողական ճանապարհորդություն ստացվեց:

Рубрика: Նախագծեր

ՆԱԽԱԳԻԾ ՊԱՐԶ ԵՎ ԵՐԿՎՈՐՅԱԿ ՊԱՐԶ ԹՎԵՐԻ ՄԱՍԻՆ (ՄԱՍ 1)

Опубликовано автором Թաթուլ

Նախագծի ժամանակ  կքննարկենք  ,թե որոնք են կոչվում պարզ թվեր և ինչ կիրառություն ունեն:Յուրաքանչյուր սովորող կհավաքի պարզ թվերին վերաբերվող ցանկացած ինֆորմացիա: Կպարզենք, թե ինչպիսի կիրառություն ունեն պարզ թվերը հատկապես գաղտնագրման և կոդավորման ոլորտում :

 Նախագծի նպատակը

  • Սովորողների մոտ առաջացնել սեր դեպի մաթեմատիկա
  • տեղեկանալ ժամանակակից մաթեմատիկայի ձեռբերումների մասին
  • կատարել հետազոտական և թարգմանչական աշխատանքներ

Նախագծի արդյունք

  • Սովորողները իրենց բլոգներում հրապարակում են ստացած արդյունքները
  • Իրենց բլոգներում հատուկ տեղ են հատկացնում պարզ թվերի վերաբերյալ կատարված թարգմանություններին
  • Նախագծի ավարտից հետո արդյունքները քննարկում ենք դասարանում

Ժամկետը՝ հունվարի 10-30
Մասնակիցները՝ 9-րդ դասարանի սովորողներ:

Հիմնական նյութը՝

Մեկից մեծ բնական թիվը կոչվում է պարզ, եթե նա, չհաշված արտադրիչների հաջորդականությունը, միարժեքորեն է վերլուծվում բնական
թվերի արտադրյալի։ Հակառակ դեպքում՝ բնական թիվը կոչվում է բաղադրյալ։ Ընդգծենք, որ 1-ը չի համարվում ոչ պարզ, ոչ բաղադրյալ թիվ։ Առաջին քսան բնական թվերի հատվածում պարզ են P1= 2, P2= 3, P3= 5, P4= 7, P5= 11, P6= 13, P7= 17, P8= 19 թվերը, մնացածը, բացի 1-ից, բաղադրյալ են։ Պարզ թվերը նման են անտրոհելի տարրերի, որոնցից
բազմապատկման գործողության միջոցով կարելի է ստանալ բոլոր բնական թվերը։ Դա նման է տարրական մասնիկների դերին ֆիզիկայում կամ նրան, որ բոլոր քիմիական նյութերը կարելի է սինթեզել Մենդելեևի քիմիական տարրերի պարբերական աղյուսակի տարրերից։ Պարզ թվերի նման դերակատարումն այնքան է կարևորվել, որ համապատասխան պնդումը, ավելի ճիշտ՝ բնական թվերի՝ պարզ թվերի արտադրյալի տեսքով ներկայացման հնարավորության (այսինքն՝ գոյության) և միակության մասին պնդումը, ստացել է «թվաբանության հիմնական թեորեմ» անվանումը։

Մաթեմատիկայում և այլուր պարզ թվերը հանդիպում են ամենատարբեր իրադրություններում։ Գիտակների համար հիշատակենք, որ պարզ թվերի հետ են առնչվում, օրինակ, դաշտերի բնութագրիչները, ոչ արքիմեդյան նորմավորումները, SpecZ֊ի կետերը և այլն։
Ինչպես նշել է թվերի տեսության հայտնի մասնագետ Ա. Խինչինը. «Պարզ թվերի հիմնարար դերը մշտապես բևեռել է նրանց վրա հետազոտողների ուշադրությունը։ Ինչպիսին է նրանց բազմությունը, քա նի թիվ է պարունակում, ինչպես են նրանք
բաշխված, ինչպիսի օրինաչափությունների է ենթարկվում պարզ և բաղադրյալ թվերի իրար հաջորդումը բնական թվերի շարքում։ Բոլոր այս հարցերը բնականորեն կանգնել են տարբեր դարաշրջանների գիտնականների առջև՝ սկսած անտիկ աշխարհից
մինչև մեր օրերը, և դեռ այժմ էլ զգալի չափով գտնվում են թվաբանական գիտության ուշադրության կենտրոնում, հատկապես այն պատճառով, որ նրանց լուծումն առնչվում է արտակարգ մեծ դժվարությունների հետ»։
Գոյություն ունի հին հույներից ավանդված մի պարզ և գեղեցիկ եղանակ՝ հաջորդաբար, առանց բաց թողնելու, բոլոր պարզ թվերը ստանալու համար, որը կոչվում է էրա տ ոսթենեսի մաղ՝ այն առաջինը կիրառած հին հույն մաթեմատիկոս էրատոսթենեսի
պատվին։
Տանք հակիրճ տեղեկություններ նրա մասին։ Համարվում է, որ էրատոսթենեսը ապրել է մեր թվարկությունից առաջ 276 — 194 թթ.։ Ծնվել է Հյուսիսային Աֆրիկայի Կիրենա քաղաքում, որը գտնվում է ժամանակակից Լիբիայում, սովորել և կյանքի մեծ մասն անցկացրել է Եգիպտոսի Ալեքսանդրիա քաղաքում, նրա հռչակավոր գրադարանում։
էրատոսթենեսի բազմակողմանի գիտելիքները բարձր է գնահատել նրա ժամանակակից և
ավագ գործընկեր Արքիմեդը։

էրատոսթենեսի մաղի մեթոդը կիրառվում է հետևյալ կերպ։ Գրենք աճման կարգով բոլոր
բնական թվերը՝ սկսած երկուսից մինչև որևիցե ո բնական թիվ։ Ապա «մաղենք» այդ թվերը։ Նախ ջնջենք (կամ ընդգծենք, կամ ներկենք այլ գույնի) բոլոր այն թվերը, որոնք բաժանվում
են երկուսի՝ բացի հենց երկուսից. երկուսից հետո հաջորդ թիվը կլինի երեքը։ Թողնելով այն՝ ջնջենք բոլոր երեքի բաժանվող թվերը։ Եվ այդպես վարվենք շարոնակ, հերթական ջնջումից հետո առաջին չջնջված թիվը թողնենք, իսկ նրան բաժանվող բոլոր մնացած թվերը ջնջենք։ Գրված թվերն այսպես «մաղելուց» հետո կմնան միայն պարզ բնական թվերը, իսկ
բոլոր բաղադրյալ թվերը «կմաղվեն»։ Օրինակ՝ ո = 100 դեպքում կունենանք հետևյալ պատկերը.

Համաձայն այս աղյուսակի՝
P15= 47, P25 = 97։ Մեծացնելով ո-ը՝ կարելի է գտնել նոր մեծամեծ պարզ թվեր։ Օրինակ՝
P35 = 149, P46= 199, P70 = 349, P95 = 499, P100 = 541, P200 = 1223, P303 = 1999։
(Այսպիսով՝ անցյալ դարի վերջին տարեթիվը պարզ էր։ Քանի պարզ տարեթիվ կլինի երրորդ
հազարամյակի առաջին դարում)
Մինչև 1950 թ. հայտնի ամե նամեծ պարզ թիվը եղել է 2127 -1 թիվը, որն ունի 39 տասնորդական թվանշան, ընդ որում, այդ թվի պարզ լինելը դեռ 1876 թ. ապացուցել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Լյուկան։ 1909 թ. հրատարակվել են 10 միլիոնից փոքր բոլոր պարզ թվերի աղյուսակները։ 1951 թ. այդ աղյուսակները լրացվել են < 10999997 պարզ թվերով, իսկ 1959 թ. կազմվել է P6000000 = 104395301 պարզ թիվը չգերազանցող բոլոր պարզ թվերը պարունակող միկրոֆիլմ։ 1963 թ. հայտնի ամենամեծ պարզ թիվը 24423 -1 էր, որն ունի 1332 թվանշան։ 1985 թ. պարզ թվերի և երկվորյակ պարզ թվերի (տես ստորև) աղյուսակները հասցվել են մինչև 1011։ Հայտնի են երեք հատ 100 տասնորդական նիշ ունեցող պարզ թվեր՝ 81 * 2324 + 1, 63 * 2326+ 1, 35 * 2327 + 1 :

Ապացուցված է, որ գոյություն ունեն առնվազն երեք պարզ թվեր, որոնց թվանշանների քանակը հավասար է 1000, սակայն ոչ մի այդպիսի թիվ հայտնի չի եղել գոնե մինչև 1963 թ.։

Ցանկացած նոր պարզ թվի հայտնաբերումը համարվում է մեծ առաջընթաց։ Համակարգիչների ստեղծումից հետո սկսվում է ռեկորդների մրցավազք՝ նոր
մեծ պարզ թվեր գտնելու համար։ Եթե մինչև 1951 թ., ինչպես վերը
ասացինք, ամենամեծ հայտնի պարզ թիվը 39 նիշ ունեցող 2127–1
թիվն էր, ապա դրանից հետո տեղի է ունենում իսկական պոռթկում։ 1951 թ. մինչև 1971 թ. հայտնաբերվում են 15 նոր պարզ թվեր։ Թե նրանց հայտնաբերումն ինչ հետաքրքրություն է առաջացնում հասարակության շրջանում, վկայում է, օրինակ, հերթական նորահայտ պարզ թվին նվիրված ամերիկյան փոստային շտամպը (կնիքը), որի վրա տպված էր
«211213 — 1 » (211213 -1 թիվը պարզ է) արձանագրությունը և այդ 3 376 տասնորդական նիշ
ունեցող թիվը։ Երբ 1978 թ. երկու դպրոցական Կալիֆոռնիայից սահմանում
են նոր ռեկորդ՝ մատնանշելով 221701 -1 պարզ թիվը, մի գերմանական թերթ գրում է. «էրատոս թենեսի մաղով հաջողվել է որսալ ամենամեծ պարզ թիվը»։ Այս առիթով մասնագետներից մեկը հումորով նկատում է, որ էրատոսթենեսի մաղը դրա համար
պիտանի է նույնքան, որքան կացինը՝ ատոմի միջուկը ճեղքելու համար։

Շատ չանցած վերոհիշյալ արդյունքը գերազանցվում է, նախ ապացուցվում է, որ պարզ
են 223209 –1, ապա 244497 -1 թվերը։ 1983 թ. հայտարարվում է, որ պարզ է 25 962 թվանշանից կազմված 286243 -1 թիվը։ Թե ինչ արագությամբ են տեղի ունենում փոփոխությունները, վկայում է հետևյալը։ Ամերիկյան մաթեմատիկական ընկերության
հեղինակավոր «Nottices of the AMS» ամսագրի 2004 թ. ապրիլյան համարում «The Great Prime Number Record Races» («Մեծ պարզ թվի ռեկորդ է գրանցվել»)
հոդվածում որպես նորահայտ մեծագույն պարզ թիվ՝ նշվում է
6 320 430 տասնորդական թվանշան ունեցող 220996011 -1 թիվը, իսկ նույն ընկերության հուլիսի կեսերի Website֊ում (կայքում) տեսնում ենք, որ ամենամեծն արդեն
224036583 — 1 պարզ թիվն է, որն ունի ավելի քան յոթ միլիոն տասնորդական թվանշան։ Նշվում է նաև, որ 100 000 դոլար մրցանակ է սահմանվել 10 միլիոն թվանշանից
կազմված պարզ թվի հայտնաբերողին ։
Ստորև բերվող աղյուսակում գրանցված են առ 2008 թվականի սեպտեմբեր ամիսը հայտնի
ամենամեծ պարզ թվերը։ Առաջին սյունում համարակալվում է նրանց հաջորդականությունը նվազման կարգով, երկրորդում նշված են այդ թվերը, երրորդում՝
նրանց տասնորդական թվանշանների քանակը, չորրորդում՝ նրանց հայտնաբերման տարեթիվը։

Սույն հոդվածը տպագրության հանձնելուց հետո Ամերիկյան մաթեմատիկակ ան Միության 2008 թ. հոկտ եմբեր ամսիկայքում հայտարարություն եղավ, որ հայտնաբերվել են 13 միլիոն թվանշան ունեցող Մերսենի 45֊րդ՝ 243112609 — 1 պարզ թիվը և ապա 11 միլիոն թվանշանից կազմված Մերսենի 46-րդ՝ 237156667 -1 պարզ թիվը։ Հայտնաբերողներից
յուրաքանչյուրը ստացել է 50 հազար դոլար մրցանակ ։ Նոր՝ 150 հազար դոլար, մրցանակ
է հայտարավել 100 միլիոն կամ ավելինիշ ո ւնեցող առաջինպարզ թիվը հայտնաբերողին։

Ինչպես տեսնում ենք, 150 000 դոլար մրցանակը դեռ սպասում է իր տիրոջը։

Рубрика: Նախագծեր

Սեպտեմբերի 2-12 նախագծեր

Опубликовано автором Թաթուլ

Սեպտեմբերի 2-12 առաջարկում եմ կենտրենանալ հետևյալ նախագծերի վրա: Հուսով եմ ամառվա ընդմիջման ժամանակ կկարողանամ հետաքրքրություն արդնացնել սովորողների մեջ դեպի մաթեմատիկա և արդյունավետ և արգասաբեր ուսունական տարի կունենանք:

Առաջադրանքները կատարեք, տեղադրեք ձեր բլոգներում:Հարցեր ունենալու դեպքում գրեք իմ հասցեին: T.shahnazaryan@mskh.am

Պարզ թիվ

Մաթեմատիկայում պարզ թվերը բնական թվեր են, որոնք ունեն միայն երկու բաժանարար, այսինքն բաժանվում են միայն մեկի, իրենց վրա:

Պարզ թվերի բազմությունը նշանակում են:
{\mathbb {P}} = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ..}

Մնացած բնական թվերը բացի մեկից անվանում են բաղադրյալ թվեր։ Այսպիսով՝ բոլոր բնական թվերի բազմությունը (բացի 1-ից) բաժանվում է երկու մասի՝ պարզ և բաղադրյալ թվեր։

Պարզ թվերն անվերջ են։ Վերջինիս ճշմարտացիության առաջին ապացույցին հանդիպում ենք Էվկլիդեսի մոտ։ Նրա ապացույցը կարճ կարելի է ձևակերպել այսպես

՛՛Պատկերացնենք, որ պարզ թվերի քանակությունը վերջավոր է։ Բոլոր պարզ թվերը բազմապատկենք իրարով ու ստացվածին գումարենք մեկ։ Ստացված թիվը չի բաժանվում մեր ունեցած և ոչ մի պարզ թվի վրա, որովհետև բաժանումից ստացված մնացորդը միշտ մեկ է լինում։ Ստացվում է, որ այդ թիվը պետք է բաժանվի մի պարզ թվի վրա, որը մենք չենք ընդգրկել մեր պարզ թվերի բազմության մեջ։ Ստացանք հակասություն։

Պարզ թվերը ստանալու ամենակարճ եղանակը

Ցանկացած թվի պարզությունը որոշելու համար բավական է, որ այդ թիվը բաժանենք՝ 2-ից մինչև իր քառակուսի արմատի վրա (քառակուսի արմատը կլորացրած)։

Խնդիր։ Տրված է N բնական թիվը, որոշել արդյո՞ք այն պարզ է, թե՝ ոչ։

Լուծում։ Նախ որոշում ենք տրված թվի արմատը՝ {\displaystyle \surd (N)}, այնուհետև կլորացնում ենք այն և հետո N թիվը բաժանում ենք 2֊ի և ստացված թվի արանքում ընկած բոլոր պարզ թվերի վրա ու եթե այն բաժանվում է գոնե մեկի վրա, ապա տրված N թիվը բաղադրյալ թիվ է, եթե՝ ոչ, ապա այլևս ոչ մի թվի վրա չի բաժանվի։

Հավելում․

Տրված N թիվը պարզ է եթե այն չի բաժանվում ցանկացած X պարզ թվերի վրա, որտեղ X֊ը հավասար է [2;{\displaystyle \surd (N)}] միջակայքում եղած բոլոր պարզ թվերին։

Առաջին 500 պարզ թվերի աղյուսակ

235711131719232931374143475359616771
7379838997101103107109113127131137139149151157163167173
179181191193197199211223227229233239241251257263269271277281
283293307311313317331337347349353359367373379383389397401409
419421431433439443449457461463467479487491499503509521523541
547557563569571577587593599601607613617619631641643647653659
661673677683691701709719727733739743751757761769773787797809
811821823827829839853857859863877881883887907911919929937941
947953967971977983991997100910131019102110311033103910491051106110631069
10871091109310971103110911171123112911511153116311711181118711931201121312171223
12291231123712491259127712791283128912911297130113031307131913211327136113671373
13811399140914231427142914331439144714511453145914711481148314871489149314991511
15231531154315491553155915671571157915831597160116071609161316191621162716371657
16631667166916931697169917091721172317331741174717531759177717831787178918011811
18231831184718611867187118731877187918891901190719131931193319491951197319791987
19931997199920032011201720272029203920532063206920812083208720892099211121132129
21312137214121432153216121792203220722132221223722392243225122672269227322812287
22932297230923112333233923412347235123572371237723812383238923932399241124172423
24372441244724592467247324772503252125312539254325492551255725792591259326092617
26212633264726572659266326712677268326872689269326992707271127132719272927312741
27492753276727772789279127972801280328192833283728432851285728612879288728972903
29092917292729392953295729632969297129993001301130193023303730413049306130673079
30833089310931193121313731633167316931813187319132033209321732213229325132533257
32593271329933013307331333193323332933313343334733593361337133733389339134073413
34333449345734613463346734693491349935113517352735293533353935413547355735593571

Գիլբերտի խնդրի ուսումնասիրման ստուգման ծրագիրը հայտնում է, որ հաշվարկվել են մինչև {\displaystyle 10^{18}}բոլոր պարզ թվերը։ Դա կազմում է 24 739 954 287 740 860 պարզ թիվ, բայց դրանք չեն պահպանվել։ Գոյություն ունեն բանաձևեր, որոնք հնարավորություն են տալիս հաշվել պարզ թվերի քանակը (մինչև տրված արժեքը) ավելի արագ, քան պարզ թվերի հաշվարկը։ Այդ մեթոդը օգտագործվել է մինչև {\displaystyle 10^{23}}թիվը պարզ թվերի քանակըհաշվելու համար։ Դրանց թիվը 1 925 320 391 606 803 968 923 է։

Բելի պարզ թվեր

Պարզ թվեր են, որոնք հանդիսանում են n թվով շարքի բաշխման թիվը։

2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837. Հաջորդ թիվը 6539 նիշ ունի:

Քառակուսային պարզ թվեր

{\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+1}  տեսքի թվերրը կոչվում են քառակուսյինհ պարզ։

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227, 27361, 33391, 35317

{\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+2}  նույնպես քառակուսային պարզ են։

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313, 73009, 76801, 84673, 106033, 108301, 112909, 115249

Գերպարզ թվեր

Պարզ թվեր, որոնք պարզ թվերի շարքում գրավում են պարզ թվերով կարգերում, այսինքն, երկրորդը, երրորդը, հինգերորդը և այլն։

Գերպարզ թվերի շարքի առաջին անդամներն են․ 3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, 157, …  թվային շարք

Մեկերից կազմված պարզ թվեր

2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 թվով մեկերից կազմված պարզ թվերի շարք

Մեկերից և զրոներից կազմված պարզ թվեր

Բացի միայն մեկերից կազմված պարզ թվերից բացի կարելի է նշել նաև մեկերից և զրոներից կազմված պարզ թվերը։ Առաջին տաս միլիոնի սահմաններում այդպիսին են 11, 101, 10111, 101111, 1011001, 1100101 և այլն։

Պարզ պալինդրոմներ (դյուրադարձուկներ)

Պոլինդրոմներ են կոչվում այն թվերը, որոնք թե՛ աջից ձախ, թե՛ ձախից աջ կարդացվում են նույն ձևով, օրինակ՝30103։Դրանց թվում կան պարզ թվեր։ Պարզ է, որ յուրաքանչյուր պարզ պոլինդրոմ կազմված է կենտ թվով նիշերից ,բացառությամբ 11-ը։ Առաջին պոլինդրոմներն են ՝Я

2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, …

Վիլսոնի պարզ թվեր

P Պարզ թվերն են ,որոնց համար {\displaystyle (p-1)!+1} -ը բաժանվում է {\displaystyle p^{2}} առանց մնացորդի։ Վիլսոնի հայտնի պարզ թվերն են 5, 13, 563 այլ Վիլսոնի պարզեր մինջև 2×1013 ,հայտնի չեն։

Քերոլի պարզ թվեր

{\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2} տեսքի պարզ թվեր .

7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087

Կալենի պարզ թվեր

{\displaystyle n2^{n}+1} տեսքի պարզ թվեր։

Բոլոր Կալենի պարզ թվերը համապատասխանում են {\displaystyle n}n-ին, որը հավասար է․1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881

Ենթադրվում է, որ գոյություն ունի անվերջ թվով Կալենի պարզ թվեր։

Մարկովի պարզ թվեր

p պարզ թվերն են, որոնց համար գոյություն ունենամբողջ x և y թվերը այնպիսին , որ {\displaystyle x^{2}+y^{2}+p^{2}=3xyp}.

2, 5, 13, 29, 89, 233, 433, 1597, 2897, 5741, 7561, 28657, 33461, 43261, 96557, 426389, 514229

Մերսենի պարզ թվեր

{\displaystyle 2^{n}-1} տեսքի պարզ թվերն են, առաջին 12-ը հետևյալն են․

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727 

Նյումենի-Շենքսի-Ուլյամսի պարզ թվեր

p պարզ թվերն են, որոնց կարելի ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝{\displaystyle S_{2m+1}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}}{2}}.}

Մի քանի առաջին ՆՇՈՒ պարզ թվերն են 7, 41, 239, 9369319, 63018038201, 489133282872437279, 19175002942688032928599, 123426017006182806728593424683999798008235734137469123231828679

Պրոտի պարզ թվեր

{\displaystyle P=k\cdot 2^{n}+1} տեսքի պարզ թվերն են ,որտեղ k կենտ է և {\displaystyle 2^{n}>k}

Սոֆի-Ժարմենի պարզ թվեր

p պարզ թվերն են, այնպիսիք, որ {\displaystyle 2p+1}  նույնպես լինեն պարզ։

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953

Ֆերմայի պարզ թվեր

{\displaystyle 2^{2^{n}}+1} տեսքի պարզ թվերն են։ Հայտնի են 3, 5, 17, 257, 65537

Ֆիբոնաչիի պարզ թվեր

Ֆիբոնաչիի F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 շարքի պարզ թվերն են․

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917

Չենի պարզ թվեր

p պարզ թվերն են, որոնց {\displaystyle p+2}-ը կամ պարզ է կամ կիսապարզ։

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 191, 197, 199, 211, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 269, 281, 293, 307, 311, 317, 337, 347, 353, 359, 379, 389, 401, 409

{\displaystyle n^{4}+1} տեսքի պարզ թվեր

Այս տեսքի պարզ թվերն են: Հավասարակշռված պարզ թվեր

2, 17, 257, 1297, 65537, 160001, 331777, 614657, 1336337, 4477457, 5308417, 8503057, 9834497, 29986577, 40960001, 45212177, 59969537, 65610001, 126247697, 193877777, 303595777, 384160001, 406586897, 562448657, 655360001

Հավասարակշռված պարզ թվեր

Նախորդ և հաջորդ պարզ թվերի թվաբանական միջինը հանդիսացող պարզ թվերն են․

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, 1753, 1907, 2287, 2417, 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637, 3733, 4013, 4409, 4457, 4597, 4657, 4691, 4993, 5107, 5113, 5303, 5387, 5393

Ունիկալ պարզ թվեր

pպարզ թվերն են, որոնց  {\displaystyle {\frac {1}{p}}} տեսքի կոտորակի պարբերականության շարքը նման չէ որևէ այլ պարզ թվի շարքին։

3, 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, 99990001, 999999000001, 9999999900000001, 909090909090909091, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, 900900900900990990990991

Ֆակտորիալային պարզ թվեր

{\displaystyle n!\pm 1} տեսքի պարզ թվեր, որոնց համար {\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}:

2, 3, 5, 7, 23, 719, 5039, 39916801, 479001599, 87178291199, 10888869450418352160768000001, 265252859812191058636308479999999, 263130836933693530167218012159999999, 8683317618811886495518194401279999999

Կենտրոնացված պարզ թվեր

{\displaystyle n^{2}+(n+1)^{2}} տեսքի պարզ թվերն են․

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, 4513, 5101, 7321, 8581, 9661, 9941, 10513, 12641, 13613, 14281, 14621, 15313, 16381, 19013, 19801, 20201, 21013, 21841, 23981, 24421, 26681

Կենտրոնացված եռանկյուն պարզ թվեր

{\displaystyle (3n^{2}+3n+2)/2} տեսքի պարզ թվերն են․

19, 31, 109, 199, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999, 2341, 2971, 3529, 4621, 4789, 7039, 7669, 8779, 9721, 10459, 10711, 13681, 14851, 16069, 16381, 17659, 20011, 20359, 23251, 25939, 27541, 29191, 29611, 31321, 34429, 36739, 40099, 40591, 42589

Կենտրոնացված յոթանկյուն թվեր

{\displaystyle (7n^{2}-7n+2)/2} տեսքի պարզ թվերն են․

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697, 4663, 5741, 8233, 9283, 10781, 11173, 12391, 14561, 18397, 20483, 29303, 29947, 34651, 37493, 41203, 46691, 50821, 54251, 56897, 57793, 65213, 68111, 72073, 76147, 84631, 89041, 93563

Կենտրոնացված տասնանկյուն թվեր

{\displaystyle 5(n^{2}-n)+1} տեսքի պարզ թվերն են․

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281, 6301, 6661, 7411, 9461, 9901, 12251, 13781, 14851, 15401, 18301, 18911, 19531, 20161, 22111, 24151, 24851, 25561, 27011, 27751