8-րդ դասարան
1.1-ից մինչև 1000 ամեն բնական թվի համար գրատախտակին գրեցին իր բոլոր բաժանարարները (որոշակի թվեր գրատախտակին կգրվեն մեկից ավել անգամ): Այնուհետև հաշվեցին գրատախտակին գրված բոլոր թվերի գումարը։ Պարզել թե ստացված թիվը մեկ միլիոնից մե՞ծ է․ թե՞ փոքր։
Լուծում. Հաշվենք, թե յուրաքանչյուր բնական թիվ քանի՞ անգամ կգրվի գրատախտակին։ 1- ը կգրվի 1000 անգամ, քանի որ բոլոր թվերի համար էլ այն բաժանարար է։ 2-ը կգրվի 500 անգամ, քանի որ 1-ից 1000 միջակայքում կա 500 հատ զույգ թիվ։ 3-ը կգրվի 333 անգամ, 4-ը 250 և այսպես շարունակ, 999-ը կգրվի մեկ անգամ և 1000-ը կգրվի մեկ անգամ։ Նկատենք, որ 1-երի գումարը հավասար է 1000, 2-ների գումարը հավասար է 1000, 3-ների գումարը փոքր է 1000-ից (հավասար է 999) և այսպես մինչև 1000-ը։ Ուստի բոլոր գրված թվերի գումարը կլինի փոքր 1000 × 1000 = 1000000: Հետևաբար գրատախտակին գրված բոլոր թվերի գումարը փոքր է մեկ միլիոնից:
3. Գրատախտակին գրված 1, 2, 3, 4, ․․․, n բնական թվերը ներկված են սպիտակ: Յուրաքանչյուր քայլի թույլատրվում է գրատախտակին գրված թվերից ընտրել a <b< c <d չորս թվեր այնպես, որ b- a= c- b= d-c և նրանց գույները փոխել (սպիտակը՝ սև, իսկ սևը՝ սպիտակ): n –ի ո՞ր արժեքների դեպքում է հնարավոր այնպես անել, որ որոշակի քանակությամբ քայլեր անց գրատախտակին գրված բոլոր թվերը լինեն սև գույնի:
Լուծում. Սկզբում կա 0 քանակությամբ սև թիվ։ Առաջին քայլից հետո սև թվերի քանակը կդառնա 4 հատ։ Եվս մեկ քայլ անց սև թվերի քանակը կարող է դառնալ 0,2,4,6 կամ 8: Պարզ է, որ ցանկացած քանակությամբ քայլերից հետո սև թվերի քանակը զույգ է։ Քանի որ վերջում ցանկանում ենք ունենալ n հատ սև թիվ, ուստի 𝑛 = 2𝑘: Այժմ նկատենք, որ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 թվերից կամ բոլորը զույգ են, կամ բոլորը կենտ են, կամ էլ երկու հատը զույգ են և երկու հատը կենտ են։ Ամեն դեպքում նրանց մեջ կա զույգ քանակությամբ (0,2 կամ 4 հատ) զույգ թիվ։ Սկզբում կա 0 հատ սև թիվ, իսկ վերջում պետք է լինի 𝑘 հատ սև թիվ։ Քանի որ ամեն քայլի փոխվում է զույգ քանակությամբ զույգ թիվ, ուստի պետք է 𝑘-ն նույնպես զույգ լինի։ Այսպիսով 𝑛 = 2𝑘 = 4𝑠: Այժմ ցույց տանք, որ 4-ի բաժանվող n -երի համար հնարավոր է բոլոր թվերը սարքել սև։ Իսկապես, սկզբում սև սարքենք 1,2,3,4 թվերը, հաջորդ քայլին 5,6,7,8, այնուհետև 9,10,11,12 և այսպես շարունակ մինչև 4𝑠 − 3,4𝑠 − 2,4𝑠 − 1, 4𝑠:
Թաթուլ Շահնազարյան 